Страница:
<< 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 76]
Докажите, что для любого натурального
N существует
N точек,
никакие три из которых не лежат на одной прямой и все попарные
расстояния между которыми являются целыми числами.
|
|
Сложность: 7 Классы: 10,11
|
Предлагается построить
N точек на плоскости так, чтобы все расстояния между ними равнялись заранее заданным числам: для любых двух точек
Mi и
Mj, где
i и
j — любые числа
от 1 до N.
Можно ли провести построение, если расстояния rij заданы так, что всякие 5 из N точек построить можно?
б) Достаточно ли требовать, чтобы можно было построить всякие 4 из N точек?
в) Что изменится, если строить точки не на плоскости, а в пространстве? Каково тогда наименьшее k, для которого возможность построения любых k из данных N точек обеспечивает возможность построения и всех N> точек?
|
|
Сложность: 10- Классы: 9,10,11
|
Какое наибольшее число точек можно разместить
a) на плоскости;
б)* в пространстве так, чтобы ни один из треугольников с вершинами в этих точках не был тупоугольным?
(Разумеется, в условии подразумевается, что никакие три точки не должны лежать
на одной прямой – без этого ограничения можно разместить сколько угодно
точек.)
Докажите, что не существует на плоскости четырех точек
A,
B,
C и
D
таких, что все треугольники
ABC,
BCD,
CDA,
DAB остроугольные.
|
|
Сложность: 3 Классы: 7,8,9
|
На плоскости отмечены четыре точки. Докажите, что их
можно разбить на две группы так, что эти группы точек нельзя
будет отделить одну от другой никакой прямой.
Страница:
<< 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 76]