Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 165]      

В выпуклом четырехугольнике найдите точку, для которой сумма расстояний до вершин минимальна.

Подсказка

Оцените отдельно суммы расстояний до пар противоположных вершин.

Решение

Пусть данный четырехугольник - ABCD, а O - некоторая точка. Сумма OA+OC не меньше, чем AC, согласно неравенству треугольника, причем равенство достигается в том и только в том случае, когда точка O лежит на диагонали AC. Аналогичным образом, сумма OB+OD не меньше, чем BD, причем равенство достигается в том и только в том случае, когда точка O лежит на диагонали BD. Итак, сумма OA+OB+OC+OD не меньше, чем AC+BD, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда O лежит одновременно на диагоналях AC и BD, т.е. совпадает с точкой пересечения диагоналей четырехугольника ABCD.

Ответ

искомая точка - точка пересечения диагоналей.

Прислать комментарий

Из точки M, лежащей на стороне AB остроугольного треугольника ABC, опущены перпендикуляры MP и MQ на стороны BC и AC. При каком положении точки M длина отрезка PQ минимальна?

Решение

Точки P и Q лежат на окружности, построенной на отрезке CM как на диаметре. В этой окружности постоянный угол C опирается на хорду PQ, поэтому длина хорды PQ будет минимальна, если минимален диаметр CM окружности, т. е. CM — высота треугольника ABC.

Прислать комментарий

На одной стороне острого угла даны точки A и B. Постройте на другой его стороне точку C, из которой отрезок AB виден под наибольшим углом.

Решение

Пусть O — вершина данного угла. Точка C является точкой касания стороны угла с окружностью, проходящей через точки A и B, т. е. OC² = OA ^. OB. Для нахождения длины отрезка OC достаточно провести касательную к любой окружности, проходящей через точки A и B.

Прислать комментарий

Внутри выпуклого четырехугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин была бы наименьшей.

Решение

Пусть O — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD, а O₁ — любая другая точка. Тогда AO₁ + CO₁AC = AO + CO и BO₁ + DO₁BD = BO + DO, причем хотя бы одно из неравенств строгое. Следовательно, O — искомая точка.

Прислать комментарий

Три офиса A, B и C одной фирмы расположены в вершинах треугольника. В офисе A работают 10 человек, в офисе B - 20, а в офисе C - 30. Где нужно построить столовую, чтобы суммарное расстояние, проходимое всеми сотрудниками фирмы, было бы как можно меньше?

Подсказка

Воспользуйтесь неравенством треугольника.

Решение

Пусть O - место расположения столовой. Тогда суммарное расстояние, проходимое всеми сотрудниками, равно S=10*OA+20*OB+30*OC=10(OA+OC)+20(OB+OC). Согласно неравенству треугольника OA+OC не меньше AC (причем равенство достигается в том и только в том случае, когда O лежит на отрезке AC), OB+OC не меньше BC (причем равенство достигается в том и только в том случае, когда O лежит на отрезке BC). Отсюда следует, что S не меньше, чем 10AC+20BC, причем равенство достигается в том и только в том случае, когда O совпадает с точкой C. Итак, оптимальное расположение для столовой - офис C.

Ответ

в офисе C.

Прислать комментарий

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 165]