Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 146]      

Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC, N — основание биссектрисы угла B. Касательная к описанной окружности треугольника AIN в вершине A и касательная к описанной окружности треугольника CIN в вершине C пересекаются в точке D. Докажите, что прямые AC и DI перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

Дан треугольник $ABC$ с углом $A$, равным $60^\circ$. Его вписанная окружность касается стороны $AB$ в точке $D$, а вневписанная окружность, касающаяся стороны $AC$, касается продолжения стороны $AB$ в точке $E$. Докажите, что перпендикуляр к стороне $AC$, проходящий через точку $D$, вторично пересекает вписанную окружность в точке, равноудаленной от точек $E$ и $C$. (Вневписанной называется окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон.)

Прислать комментарий

Решение

Пусть ABC – равносторонний треугольник. Через прямые AB , BC и AC проходят три плоскости, образующие угол ϕ с плоскостью ABC и пересекающиеся в точке D1 . Кроме того, через эти же прямые проходят плоскости, образующие угол 2ϕ с плоскостью ABC и пересекающиеся в точке D2 . Найдите ϕ , если известно, что точки D1 и D2 находятся на равных расстояниях от плоскости ABC .

Прислать комментарий

Решение

  Дан треугольник ABC. Вневписанная окружность касается стороны AC в точке B₁ и продолжений сторон AB и BC в точках C₁ и A₁ соответственно. Окружность Ω с центром в точке A и радиусом AB₁ вторично пересекает прямую A₁B₁ в точке L. Докажите, что точки C₁, A, B₁ и середина отрезка LA₁ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Одна из вневписанных окружностей треугольника ABC касается стороны AB и продолжений сторон CA и CB в точках C₁, B₁ и A₁ соответственно. Другая вневписанная окружность касается стороны AC и продолжений сторон BA и BC в точках B₂, C₂ и A₂ соответственно. Прямые A₁B₁ и A₂B₂ пересекаются в точке P, прямые A₁C₁ и A₂C₂ – в точке Q. Докажите, что точки A, P и Q лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 146]