Страница:
<< 42 43 44 45 46 47
48 >> [Всего задач: 236]
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
В треугольнике ABC O, M, N – центр описанной окружности, центр тяжести и точка Нагеля соответственно.
Докажите, что угол MON прямой тогда и только тогда, когда один из углов треугольника равен 60°.
|
|
|
Сложность: 8+
Классы: 10,11
|
Даны две концентрические окружности. Каждая из окружностей
b1 и
b2 касается внешним образом одной окружности и внутренним –
другой, а каждая из окружностей
c1 и
c2 касается внутренним
образом обеих окружностей. Докажите, что
8
точек, в которых
окружности
b1 ,
b2 пересекают
c1 ,
c2 , лежат на двух
окружностях, отличных от
b1 ,
b2 ,
c1 ,
c2 . (Некоторые из этих окружностей могут выродиться в прямые.)
Две окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B. Биссектриса угла O1AO2 повторно пересекает окружности в точках C и D.
Докажите, что центр O описанной окружности треугольника CBD равноудалён от точек O1 и O2.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
В угол с вершиной A вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках B и C. Прямая, проходящая через A, пересекает окружность в точках D и E. Хорда BX параллельна прямой DE. Докажите, что отрезок XC проходит через середину отрезка DE.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах AC и AB выбраны точки P и Q соответственно так, что отрезок PQ проходит через центр O треугольника ABC. Окружности Гb и Гc построены на отрезках BP и CQ как на диаметрах.
Докажите, что окружности Гb и Гc пересекаются в двух точках, одна из которых лежит на Ω, а другая – на ω.
Страница:
<< 42 43 44 45 46 47
48 >> [Всего задач: 236]
Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Окружности
>>
Четыре точки, лежащие на одной окружности
