Страница: << 42 43 44 45 46 47 48 >> [Всего задач: 236]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108149

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Описанные четырехугольники ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Средняя линия трапеции ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Четырёхугольник ABCD описан около окружности ω. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке O. Окружность ω₁ касается стороны BC в точке K и продолжений сторон AB и CD; окружность ω₂ касается стороны AD в точке L и продолжений сторон AB и CD. Известно, что точки O, K и L лежат на одной прямой. Докажите, что середины сторон BC, AD и центр окружности ω лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67249

Темы:   [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Изогональное сопряжение ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 6 Классы: 10,11

Пусть $ABC$ – треугольник Понселе, точка $A_1$ симметрична $A$ относительно центра вписанной окружности $I$, точка $A_2$ изогонально сопряжена $A_1$ относительно $ABC$. Найдите ГМТ $A_2$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115868

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Свойства симметрии и центра симметрии ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Подобные треугольники ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

В треугольнике ABC провели биссектрису CL. Точки A₁ и B₁ симметричны точкам A и B относительно прямой CL, A₂ и B₂ симметричны точкам A и B относительно точки L. Пусть O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников AB₁B₂ и BA₁A₂. Докажите, что углы O₁CA и O₂CB равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66216

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Касающиеся окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Две окружности пересекаются в точках A и B. Третья окружность касается их обеих и пересекает прямую AB в точках C и D.
Докажите, что касательные к ней в этих точках параллельны общим касательным к двум первым окружностям.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116901

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Средняя линия треугольника ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Высоты AA₁, CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка Q симметрична середине стороны AC относительно AA₁. Точка P – середина отрезка A₁C₁. Докажите, что  ∠QPH = 90°.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 42 43 44 45 46 47 48 >> [Всего задач: 236]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями