Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 236]      

В треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. Прямая KL параллельна CC₁, причем точки K и L лежат на прямых BC и B₁C₁ соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника A₁KL лежит на прямой AC.

Прислать комментарий

Решение

Через точку O пересечения биссектрис треугольника ABC проведена прямая MN перпендикулярно CO, причем M и N лежат на сторонах AC и BC соответственно. Прямые AO и BO пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках A' и B'. Докажите, что точка пересечения прямых A'N и B'M лежит на описанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном треугольнике $ABC$ $O$ – центр описанной окружности, $BM$ – медиана, $BH$ – высота. Окружности $AOB$ и $BHC$ повторно пересекаются в точке $E$, а окружности $AHB$ и $BOC$ – в точке $F$. Докажите, что $ME=MF$.

Прислать комментарий

Решение

Хорда $DE$ описанной около треугольника $ABC$ окружности пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно, точка $P$ лежит между $D$ и $Q$. В треугольниках $ADP$ и $QEC$ провели биссектрисы $DF$ и $EG$. Оказалось, что точки $D$, $F$, $G$, $E$ лежат на одной окружности. Докажите, что точки $A$, $P$, $Q$, $C$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Проекции точки X на стороны четырёхугольника ABCD лежат на одной окружности. Y – точка, симметричная X относительно центра этой окружности. Докажите, что проекции точки B на прямые AX, XC, CY, YA также лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 236]