Каталог по темам

Задачи

Страница: << 40 41 42 43 44 45 46 >> [Всего задач: 289]

Задача 52421

Темы:	[	Прямая Симсона	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки описанной окружности на стороны треугольника (или их продолжения), лежат на одной прямой (прямая Симсона.)

Прислать комментарий Решение

Задача 55536

Темы:	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность; O₁, O₂, O₃, O₄ — центры окружностей, вписанных в треугольники ABC, BCD, CDA и DAB. Докажите, что O₁O₂O₃O₄ -- прямоугольник.

Прислать комментарий Решение

Задача 52460

[Теорема о бабочке]

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Через середину C произвольной хорды AB окружности проведены две хорды KL и MN (точки K и M лежат по одну сторону от AB). Отрезок KN пересекает AB в точке P. Отрезок LM пересекает AB в точке Q. Докажите, что PC = QC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 52917

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
Темы:	[	Вспомогательная окружность	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

В четырёхугольнике KLMN, вписанном в окружность, биссектрисы углов K и N пересекаются в точке P, лежащей на стороне LM. Известно, что отношение длины отрезка KL к длине отрезка MN равно b. Найдите:

а) отношение расстояний от точки P до прямых KL и MN;

б) отношение длины хорды LM к длине хорды MN.

Прислать комментарий Решение

Задача 52918

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
Темы:	[	Вспомогательная окружность	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

На дуге окружности, стягиваемой хордой KN, взяты точки L и M. Биссектрисы углов KLM и LMN пересекаются в точке P, лежащей на хорде KN. Известно, что отношение длины хорды KL к длине хорды KN равно ${\frac{2}{5}}$ . Найдите:

а) отношение расстояний от точки P до прямых KL и MN;

б) отношение площадей треугольников KLP и MPN.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 40 41 42 43 44 45 46 >> [Всего задач: 289]