Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 226]      

На диагонали BD вписанного четырёхугольника ABCD выбрана такая точка K, что  ∠AKB = ∠ADC.  Пусть I и I' – центры вписанных окружностей треугольников ACD и ABK соответственно. Отрезки II' и BD пересекаются в точке X. Докажите, что точки A, X, I, D лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Внутри треугольника ABC выбрана произвольная точка X . Лучи AX , BX и CX пересекают описанную около треугольника ABC окружность в точках A1 , B1 и C1 соответственно. Точка A2 симметрична точке A1 относительно середины стороны BC . Аналогично определяются точки B2 и C2 . Докажите, что найдётся такая фиксированная точка Y , не зависящая от выбора X , что точки Y , A2 , B2 и C2 лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Периметр треугольника равен 100 см, а площадь равна 100 см 2 . Три прямые, проведённые параллельно сторонам треугольника на расстоянии 1 см от них, разбивают треугольник на семь частей, три из которых — параллелограммы. Докажите, что сумма площадей параллелограммов меньше 25 см 2 .

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном треугольнике ABC на высоте BH выбрана произвольная точка P. Точки A' и C' – середины сторон BC и AB соответственно. Перпендикуляр, опущенный из A' на CP, пересекается с перпендикуляром, опущенным из C' на AP, в точке K. Докажите, что точка K равноудалена от точек A и C.

Прислать комментарий

Решение

Окружности S₁ и S₂ касаются окружности S внутренним образом в точках A и B, причём одна из точек пересечения окружностей S₁ и S₂ лежит на отрезке AB. Докажите, что сумма радиусов окружностей S₁ и S₂ равна радиусу окружности S. Верно ли обратное?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 226]