Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 230]      

Докажите, что в любом треугольнике точка H пересечения высот (ортоцентр), центр O описанной окружности и точка M пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причём точка M расположена между точками O и H, и MH = 2MO.

Прислать комментарий

Решение

Три мухи равной массы ползают по сторонам треугольника так, что их центр масс остается на месте. Докажите, что он совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC, если известно, что одна муха проползла по всей границе треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Два прямоугольных треугольника расположены на плоскости так, что их медианы, проведенные к гипотенузам, параллельны. Докажите, что угол между некоторым катетом одного треугольника и некоторым катетом другого треугольника вдвое меньше угла между их гипотенузами.

Прислать комментарий

Решение

Окружности σ ₁ и σ ₂ пересекаются в точках A и B . В точке A к σ ₁ и σ ₂ проведены соответственно касательные l₁ и l₂ . Точки T₁ и T₂ выбраны соответственно на окружностях σ ₁ и σ ₂ так, что угловые меры дуг T₁A и AT₂ равны (величина дуги окружности считается по часовой стрелке). Касательная t₁ в точке T₁ к окружности σ ₁ пересекает l₂ в точке M₁ . Аналогично, касательная t₂ в точке T₂ к окружности σ ₂ пересекает l₁ в точке M₂ . Докажите, что середины отрезков M₁M₂ находятся на одной прямой, не зависящей от положения точек T₁ , T₂ .

Прислать комментарий

Решение

Дан треугольник ABC и линейка, на которой отмечены два отрезка, равные AC и BC . Пользуясь только этой линейкой, найдите центр вписанной окружности треугольника, образованного средними линиями ABC .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 230]