Страница:
<< 42 43 44 45
46 47 48 >> [Всего задач: 1221]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
k человек ехали в автобусе без кондуктора, и у всех них были монеты только
достоинством в 10, 15, 20 копеек. Известно, что каждый уплатил за проезд
и получил сдачу. Доказать, что наименьшее число монет, которое они могли иметь,
равно
k +
![$ \left.\vphantom{\frac{k+3}{4}}\right]$](show_document.php?id=1057902)
, где значок [
a] означает наибольшее
целое число, не превосходящее
a.
Примечание. Проезд в автобусе стоит
5 копеек.
Какое наибольшее число точек самопересечения может иметь замкнутая 14-звенная
ломаная, проходящая по линиям клетчатой бумаги так, что ни на какой линии не
лежит более одного звена ломаной?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
На лист клетчатой бумаги размером n×n клеток кладутся чёрные и белые кубики, причём каждый кубик занимает ровно одну клетку. Первый слой кубиков положили произвольно, а затем вспомнили, что каждый чёрный кубик должен граничить с чётным числом белых, а каждый белый — с нечётным числом чёрных. Кубики во второй слой положили так, чтобы для всех кубиков первого слоя выполнялось это условие. Если для всех кубиков второго слоя это условие уже выполняется, то больше кубиков не кладут, если же нет, то кладут третий слой так, чтобы чтобы для всех кубиков второго слоя выполнялось это условие, и так далее. Существует ли такое расположение кубиков первого слоя, что этот процесс никогда не кончится?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Из пункта A одновременно вылетают 100 самолетов (флагманский и 99
дополнительных). С полным баком горючего самолет может пролететь 1000 км. В полёте самолеты могут передавать друг другу горючее. Самолет, отдавший горючее другим, совершает планирующую посадку. Каким образом надо совершать перелёт, чтобы флагман пролетел возможно дальше?
В четырёхугольнике ABCD AB = BC = CD = 1, AD не равно 1. Положение точек B и C фиксировано, точки же A и D подвергаются преобразованиям, сохраняющим длины отрезков AB, CD и AD. Новое положение точки A получается из старого зеркальным
отражением в отрезке BD, новое положение точки D получается из старого зеркальным отражением в отрезке AC (где A уже новое), затем на втором шагу опять A отражается относительно BD (D уже новое), затем снова преобразуется D, затем аналогично проводится третий шаг, и так далее. Докажите, что на каком-то шагу положение точек совпадает с первоначальным.
Страница:
<< 42 43 44 45
46 47 48 >> [Всего задач: 1221]
Фильтр
