Каталог по темам

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 1240]

Задача 34921

Тема:

[

Разбиения на пары и группы; биекции

]

Сложность: 3

а) На отрезке [0, 1] задано такое множество M, являющееся объединением нескольких отрезков, что расстояние между любыми двумя точками из M не равно ¹/₁₀. Докажите, что сумма длин отрезков, составляющих M, не больше ½.

б) Верно ли это же утверждение, если заменить ¹/₁₀ на ⅕?

Прислать комментарий

Решение

Задача 34922

Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Обыкновенные дроби	]

Сложность: 3

Пусть p – простое число, большее 2, а ^m/_n = 1 + ½ + ⅓ + ... + ¹/_p–1. Докажите, что m делится на p.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35139

Темы:	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]
	[	Разные задачи на разрезания	]
	[	Выпуклые многоугольники	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Какое наибольшее количество непересекающихся диагоналей можно провести в выпуклом n-угольнике (допускаются диагонали, имеющие общую вершину)?

Прислать комментарий

Решение

Задача 35411

Тема:

[

Разбиения на пары и группы; биекции

]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

На окружности отмечено 2000 синих и одна красная точка. Рассматриваются всевозможные выпуклые многоугольники с вершинами в этих точках. Каких многоугольников больше – тех, у которых есть красная вершина, или тех, у которых нет?

Прислать комментарий

Решение

Задача 35523

Темы:	[	Итерации	]
Темы:	[	Обратный ход	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

После ввода в строй третьего транспортного кольца на нем запланировали установить ровно 1998 светофоров. Каждую минуту они одновременно меняют цвет по следующему правилу: Каждый светофор меняет цвет в зависимости от цвета двух соседних (справа и слева), причем 1) если два соседних светофора горели одним цветом, то светофор между ними загорается этим же цветом. 2) если два соседних светофора горели разными цветами, то светофор между ними загорается третьим цветом. В начальный момент все светофоры кроме одного были зеленые, а один - красный. Оппоненты Лужкова заявили, что через какое-то время все светофоры будут гореть желтым цветом. Правы ли они?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 1240]