Страница:
<< 120 121 122 123
124 125 126 >> [Всего задач: 1221]
Найти все действительные решения системы уравнений 
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Из чисел
x1,
x2,
x3,
x4,
x5 можно образовать десять попарных
сумм; обозначим их через
a1,
a2, ...,
a10. Доказать, что зная
числа
a1,
a2, ...,
a10 (но не зная, разумеется, суммой каких
именно двух чисел является каждое из них), можно восстановить числа
x1,
x2,
x3,
x4,
x5.
Дан прямоугольный биллиард размером 26×1965 (сторона длины 1965 направлена слева направо, а сторона длины 26 – сверху вниз; лузы расположены в вершинах прямоугольника). Из нижней левой лузы под углом 45° к бортам выпускается шар. Доказать, что после нескольких отражений от бортов он упадет в верхнюю левую лузу. (Угол падения равен углу отражения.)
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Испанский король решил перевесить по-своему портреты своих предшественников в
круглой башне замка. Однако он хочет, чтобы за один раз меняли местами только
два портрета, висящие рядом, причём это не должны быть портреты двух королей,
один из которых царствовал сразу после другого. Кроме того, ему важно лишь
взаимное расположение портретов, и два расположения, отличающиеся поворотом
круга, он считает одинаковыми. Доказать, что как бы сначала ни висели портреты,
король может по этим правилам добиться любого нового их расположения.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Можно ли разбить все целые неотрицательные числа на 1968 непустых классов так, чтобы в каждом классе было хотя бы одно число и выполнялось бы следующее условие:
если число m получается из числа n вычёркиванием двух рядом стоящих цифр или одинаковых групп цифр, то и m, и n принадлежат одному классу (например, числа 7, 9339337, 93223393447, 932239447 принадлежат одному классу)?
Страница:
<< 120 121 122 123
124 125 126 >> [Всего задач: 1221]
Фильтр
