Каталог по темам

Задачи

Страница: << 118 119 120 121 122 123 124 >> [Всего задач: 1240]

Задача 78092

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
Темы:	[	Итерации	]

Сложность: 3+
Классы: 11

На продолжениях сторон A₁A₂, A₂A₃, ..., A_nA₁ правильного n-угольника (n ≥ 5) A₁A₂...A_n построить точки B₁, B₂, ..., B_n так, чтобы B₁B₂ было перпендикулярно к A₁A₂, B₂B₃ перпендикулярно к A₂A₃, ..., B_nB₁ перпендикулярно к A_nA₁.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78529

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
Темы:	[	Процессы и операции	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Собрались 2n человек, каждый из которых знаком не менее чем с n присутствующими. Доказать, что можно выбрать из них четырёх человек и рассадить их за круглым столом так, что при этом каждый будет сидеть рядом со своими знакомыми (n $\ge$ 2).

Прислать комментарий Решение

Задача 78629

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
Темы:	[	Перебор случаев	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Можно ли расставить на окружности числа 1, 2...12 так, чтобы разность между двумя рядом стоящими числами была 3, 4 или 5?

Прислать комментарий Решение

Задача 78670

Темы:	[	Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

На плоскости даны три точки. Из них выбираются любые две, строится серединный перпендикуляр к отрезку, их соединяющему, и все точки отражаются относительно этой прямой, затем из всех точек (старых и новых) снова выбираются какие-то две точки и вся процедура повторяется. Так делается бесконечно много раз. Доказать, что в плоскости найдётся такая прямая, что все полученные точки будут лежать по одну сторону от нее.

Прислать комментарий Решение

Задача 78710

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 3+
Классы: 8

Двое играют в следующую игру. Каждый игрок по очереди вычёркивает 9 чисел (по своему выбору) из последовательности 1, 2, 3, ..., 100, 101. После одиннадцати таких вычёркиваний останутся два числа. Затем второй игрок присуждает первому столько очков, какова разница между этими оставшимися числами. Доказать, что первый игрок всегда сможет набрать по крайней мере 55 очков, как бы ни играл второй.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 118 119 120 121 122 123 124 >> [Всего задач: 1240]