Страница: << 146 147 148 149 150 151 152 >> [Всего задач: 1240]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98506

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Подсчет двумя способами ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Клетки доски m×n покрашены в два цвета. Известно, что на какую бы клетку ни поставить ладью, она будет бить больше клеток не того цвета, на котором стоит (клетка под ладьей тоже считается побитой). Докажите, что на каждой вертикали и каждой горизонтали клеток обоих цветов поровну.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98578

Темы:   [ Таблицы и турниры (прочее) ] [ Перебор случаев ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Колоду из 52 карт разложили в виде прямоугольника 13×4. Известно, что если две карты лежат рядом по вертикали или горизонтали, то они одной масти либо одного достоинства. Докажите, что в каждом горизонтальном ряду (из 13 карт) все карты одной масти.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105107

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Подсчет двумя способами ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Участники шахматного турнира сыграли друг с другом по одной партии. Для каждого участника A было подсчитано число набранных им очков (за победу дается 1 очко, за ничью – ½ очка, за поражение – 0 очков) и коэффициент силы по формуле: сумма очков тех участников, у кого A выиграл, минус сумма очков тех, кому он проиграл.
  а) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть больше 0?
  б) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть меньше 0?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105131

Темы:   [ Разные задачи на разрезания ] [ Подсчет двумя способами ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Индукция в геометрии ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Остроугольный треугольник разрезали прямолинейным разрезом на две (не обязательно треугольные) части, затем одну из этих частей – опять на две части, и так далее: на каждом шаге выбирали любую из уже имеющихся частей и разрезали её (по прямой) на две. Через несколько шагов оказалось, что исходный треугольник распался на несколько треугольников. Могут ли все они быть тупоугольными?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105177

Темы:   [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Инварианты ] [ Произвольные многоугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Бильярдный стол имеет форму многоугольника (не обязательно выпуклого), у которого соседние стороны перпендикулярны друг другу. Вершины этого многоугольника – лузы, при попадании в которые шар там и остаётся. Из вершины A с (внутренним) углом 90° выпущен шар, который отражается от бортов (сторон многоугольника) по закону "угол падения равен углу отражения". Докажите, что он никогда не вернётся в вершину A.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 146 147 148 149 150 151 152 >> [Всего задач: 1240]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями