Каталог по темам

Задачи

Страница: << 175 176 177 178 179 180 181 >> [Всего задач: 1240]

Задача 66712

Темы:	[	Теория чисел. Делимость (прочее)	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Фольклор

Найдите все натуральные $n$, удовлетворяющие условию: числа $1, 2, 3, \ldots, 2n$ можно разбить на пары так, что если сложить числа в каждой паре и результаты перемножить, получится квадрат натурального числа.

Прислать комментарий Решение

Задача 67504

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Невыпуклые многоугольники	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Бакаев Е.В.

На плоскости провели $100$ прямых, среди них никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Рассмотрим всевозможные четырёхугольники, все стороны которых лежат на этих прямых (в том числе четырёхугольники, внутри которых проведены линии). Обязательно ли выпуклых среди них столько же, сколько невыпуклых?

Прислать комментарий Решение

Задача 77930

Темы:	[	Степень вершины	]
	[	Обход графов	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

На консультации было 20 школьников и разбиралось 20 задач. Оказалось, что каждый из школьников решил две задачи и каждую задачу решили два школьника. Докажите, что можно так организовать разбор задач, чтобы каждый школьник рассказал одну из решённых им задач и все задачи были разобраны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 77997

Темы:	[	Ребусы	]
	[	Десятичная система счисления	]
	[	Перебор случаев	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Определить четырёхзначное число, если деление этого числа на однозначное производится по следующей схеме:

×	×	×	×	×
×	×			×××
		×	×
		×	×

а деление этого же числа на другое однозначное производится по такой схеме:

×	×	×	×	×
	×			×××
	×	×
		×
		×	×
		×	×

Прислать комментарий

Решение

Задача 78020

Темы:	[	Деревья	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Дан отрезок OA. Из конца отрезка A выходит 5 отрезков AB₁, AB₂, AB₃, AB₄, AB₅. Из каждой точки B_i могут выходить ещё пять новых отрезков или ни одного нового отрезка и т.д. Может ли число свободных концов построенных отрезков равняться 1001? Под свободным концом отрезка понимаем точку, принадлежащую только одному отрезку (кроме точки O).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 175 176 177 178 179 180 181 >> [Всего задач: 1240]