Каталог по темам

Задачи

Страница: << 64 65 66 67 68 69 70 >> [Всего задач: 354]

Задача 110747

Темы:	[	Площадь и объем (задачи на экстремум)	]
	[	Правильная пирамида	]
	[	Биссекторная плоскость	]
	[	Применение тригонометрических формул (геометрия)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Плоскость проходит через сторону основания правильной четырёхугольной пирамиды и делит пополам двугранный угол при этой стороне. Найдите площадь основания пирамиды наименьшего объёма, если известно, что указанная плоскость пересекает высоту пирамиды в точке, удалённой на расстояние d от плоскости основания.

Прислать комментарий Решение

Задача 115878

Темы:	[	Четырехугольники (прочее)	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Решение задач при помощи аффинных преобразований	]
	[	Аналитический метод в геометрии	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Нилов Ф.

Дан четырёхугольник ABCD, противоположные стороны которого пересекаются в точках P и Q. Две прямые, проходящие через эти точки, пересекают стороны четырёхугольника в четырёх точках, являющихся вершинами параллелограмма. Докажите, что центр этого параллелограмма лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей ABCD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73714

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Итерации	]
	[	Неравенства для углов треугольника	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Сжимающие отображения и неподвижные точки	]
	[	Композиции движений. Теорема Шаля	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Васильев Н.Б.

Для каждого непрямоугольного треугольника T обозначим через T₁ треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T; через T₂ – треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T₁; аналогично определим треугольники T₃, T₄ и так далее. Каким должен быть треугольник T, чтобы
а) треугольник T₁ был остроугольным?
б) в последовательности T₁, T₂, T₃, ... встретился прямоугольный треугольник T_n (и таким образом треугольник T_n+1 не определён)?
в) треугольник T₃ был подобен треугольнику T?
г) Для каждого натурального числа n выясните, сколько существует неподобных друг другу треугольников T, для которых треугольник T_n подобен треугольнику Т.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110154

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Наименьший или наибольший угол	]
	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Дольников В.Л.

На плоскости отмечено N 3 различных точек. Известно, что среди попарных расстояний между отмеченными точками встречаются не более n различных расстояний. Докажите, что N (n+1)² .

Прислать комментарий Решение

Задача 109840

Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Целочисленные решетки (прочее)	]
	[	Алгебраические методы	]
	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число	]
	[	Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам	]
	[	Теория игр (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Подлипский О.К.

В клетчатом прямоугольнике 49×69 отмечены все 50· 70 вершин клеток. Двое играют в следующую игру: каждым своим ходом каждый игрок соединяет две точки отрезком, при этом одна точка не может являться концом двух проведенных отрезков. Отрезки могут содержать общие точки. Отрезки проводятся до тех пор, пока точки не кончатся. Если после этого первый может выбрать на всех проведенных отрезках направления так, что сумма всех полученных векторов равна нулевому вектору, то он выигрывает, иначе выигрывает второй. Кто выигрывает при правильной игре?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 64 65 66 67 68 69 70 >> [Всего задач: 354]