ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]      



Задача 110485

 [Равногранный тетраэдр]
Темы:   [ Равногранный тетраэдр ]
[ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ]
[ Развертка помогает решить задачу ]
[ Проектирование помогает решить задачу ]
[ Медиана пирамиды (тетраэдра) ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 6+
Классы: 10,11

Докажите, что следующие свойства тетраэдра равносильны:

1) все грани равновелики;

2) каждое ребро равно противоположному;

3) все грани равны;

4) центры описанной и вписанной сфер совпадают;

5) суммы углов при каждой вершине равны;

6) сумма плоских углов при каждой вершине равна 180o ;

7) развёртка тетраэдра представляет собой остроугольный треугольник, в котором проведены средние линии;

8) все грани – остроугольные треугольники с одинаковым радиусом описанной окружности;

9) ортогональная проекция тетраэдра на каждую из трёх плоскостей, параллельных двум противоположным рёбрам, – прямоугольник;

10) параллелепипед, полученный в результате проведения через противоположные рёбра трёх пар параллельных плоскостей, – прямоугольный;

11) высоты тетраэдра равны;

12) точка пересечения медиан совпадает с центром описанной сферы;

13) точка пересечения медиан совпадает с центром вписанной сферы;

14) сумма плоских углов при трёх вершинах равна 180o ;

15) сумма плоских углов при двух вершинах равна 180o и два противоположных ребра равны.
Прислать комментарий     Решение


Задача 87058

Темы:   [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ]
[ Равногранный тетраэдр ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Противоположные рёбра тетраэдра попарно равны. Основание тетраэдра – треугольник со сторонами a , b , c . Найдите объём тетраэдра.
Прислать комментарий     Решение


Задача 87063

Темы:   [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ]
[ Равногранный тетраэдр ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Докажите, что все грани тетраэдра равны (равногранный тетраэдр) тогда и только тогда, когда отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер, попарно перпендикулярны.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109359

Темы:   [ Развертка помогает решить задачу ]
[ Равногранный тетраэдр ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Докажите, что если суммы плоских углов при трёх вершинах треугольной пирамиды равны по 180o , то все грани этой пирамиды – равные треугольники (т.е. тетраэдр является равногранным).
Прислать комментарий     Решение


Задача 110307

Темы:   [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ]
[ Равногранный тетраэдр ]
[ Теорема Пифагора в пространстве ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Два противоположных ребра треугольной пирамиды равны a , два других противоположных ребра равны b , два оставшихся равны c . Найдите косинус угла между рёбрами, равными a .
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .