Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 108]      

Две сферы равных радиусов касаются друг друга. Через точку M проведены две прямые, касающиеся данных сфер. Первая прямая касается сфер в точках A и B , вторая – в точках C и D , точки A и C лежат на одной сфере. Известно, что AB=6 , CD = 2 , BMD = 60^o и MB>MA . Найдите радиусы сфер.

Прислать комментарий

Решение

Сферы с центрами в точках O1 и O2 радиусов 3 и 2 соответственно касаются друг друга. Через точку M , удалённую от O2 на расстояние 2 , проведены две прямые, каждая из которых касается обеих сфер, причём точки касания лежат на прямых по одну сторону от точки M . Найдите угол между касательными, если известно, что одна из них образует с прямой O1O2 угол arccos .

Прислать комментарий

Решение

Точка O – основание высоты четырёхугольной пирамиды. Сфера с центром O касается всех боковых граней пирамиды. Точки A, B, C и D взяты последовательно по одной на боковых ребрах пирамиды так, что отрезки AB, BC и CD проходят через три точки касания сферы с гранями.
Докажите, что отрезок AD проходит через четвёртую точку касания.

Прислать комментарий

Решение

Через вершину A тетраэдра ABCD проведена плоскость, касательная к описанной около него сфере. Докажите, что линии пересечения этой плоскости с плоскостями граней ABC, ACD и ABD образуют шесть равных углов тогда и только тогда, когда  AB·CD = AC·BD = AD·BC.

Прислать комментарий

Решение

Дан тетраэдр ABCD. Вписанная в него сфера σ касается грани ABC в точке T. Сфера σ' касается грани ABC в точке T' и продолжений граней ABD, BCD, CAD. Докажите, что прямые AT и AT' симметричны относительно биссектрисы угла BAC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 108]