Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 279]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 77934

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Имеется несколько чисел, каждое из которых меньше чем 1951. Общее наименьшее кратное любых двух из них больше чем 1951.
Доказать, что сумма обратных величин этих чисел меньше 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79261

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Последовательности (прочее) ] [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Индукция (прочее) ] [ Алгоритм Евклида ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма – число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее 1973 раза. Сколько раз будет написано число 1973?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 86110

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 4 Классы: 9

На окружности расставлено n цифр, отличных от 0. Сеня и Женя переписали себе в тетрадки  n – 1  цифру, читая их по часовой стрелке. Оказалось, что хотя они начали с разных мест, записанные ими (n–1)-значные числа совпали. Докажите, что окружность можно разрезать на несколько дуг так, чтобы записанные на дугах цифры образовывали одинаковые числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109605

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Последовательности (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Последовательность натуральных чисел a_i такова, что  НОД(a_i, a_j) = НОД(i, j)  для всех  i ≠ j.  Докажите, что  a_i = i  для всех  i ∈ N.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110130

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Десятичная система счисления ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Докажите, что из произвольного множества трёхзначных чисел, включающего не менее четырёх чисел, взаимно простых в совокупности, можно выбрать четыре числа, также взаимно простых в совокупности.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 279]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями