Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 279]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 115352

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Назовём тройку натуральных чисел  (a, b, c)  квадратной, если они образуют арифметическую прогрессию (именно в таком порядке), число b взаимно просто с каждым из чисел a и c, а число abc является точным квадратом. Докажите, что для любой квадратной тройки найдётся другая квадратная тройка, имеющая с ней хотя бы одно общее число. (Тройка  (c, b, a)  новой тройкой не считается.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60489

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

a, b, c – целые числа; a и b отличны от нуля.
Докажите, что уравнение  ax + by = c  имеет решения в целых числах тогда и только тогда, когда c делится на  d = НОД(a, b).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60503

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Обыкновенные дроби ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

При каких целых n сократимы дроби
  а)   ;   б)  ?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60522

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Инварианты и полуинварианты (прочее) ] [ Процессы и операции ] [ Полуинварианты ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

На доске написано n натуральных чисел. За одну операцию вместо двух чисел, не делящих друг друга, можно написать их наибольший общий делитель и их наименьшее общее кратное.
  а) Докажите, что можно провести только конечное число операций.
  б) Финальный результат независимо от порядка действий будет одним и тем же. Например:
    (4, 6, 9) → (2, 12, 9) → (2, 3, 36) → (1, 6, 36),
    (4, 6, 9) → (4, 3, 18) → (1, 12, 18) → (1, 6, 36).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64346

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

На доске написали 100 попарно различных натуральных чисел a₁, a₂, ..., a₁₀₀. Затем под каждым числом a_i написали число b_i, полученное прибавлением к a_i наибольшего общего делителя остальных 99 исходных чисел. Какое наименьшее количество попарно различных чисел может быть среди b₁, b₂, ..., b₁₀₀?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 279]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями