Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 275]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60507

Темы:   [ Алгоритм Евклида ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Тождественные преобразования ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Докажите, что при  m ≠ n  выполняются равенства:
  а)  (a^m – 1, aⁿ – 1) = a^{(m, n)} – 1  (a > 1);
  б)  (f_n, f_m) = 1,  где  f_k = 2^2k + 1  – числа Ферма.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60520

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Докажите, что если  (a₁, a₂, ..., a_n) = 1,  то уравнение  a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n = 1  разрешимо в целых числах.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60777

Темы:   [ Функция Эйлера ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Докажите равенства:
  а)  φ(m) φ(n) = φ((m, n)) φ([m, n]);
  б)  φ(mn) φ((m, n)) = φ(m) φ(n) (m, n).
Определение функции φ(n) см. в задаче 60758.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60833

Темы:   [ Обыкновенные дроби ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Предположим, что числа m₁, ..., m_n попарно взаимно просты. Докажите, что любую правильную дробь вида     можно представить в виде алгебраической суммы правильных дробей вида ^n_i/_mi  (i = 1, ..., n).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60888

Темы:   [ Периодические и непериодические дроби ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Обозначим через  L(m)  длину периода дроби   ¹/_m. Докажите, что если  (m₁, 10) = 1  и  (m₂, 10) = 1,  то справедливо равенство  L(m₁m₂) = [L(m₁), L(m₂)].
Чему равна длина периода дроби  ¹/_m1 + ¹/_m2?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 275]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями