Каталог по темам

Задачи

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 279]

Задача 67028

Темы:	[	Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее)	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Галочкин А.И.

В коллекции Алика есть два типа предметов: значки и браслеты. Значков больше, чем браслетов. Алик заметил, что если он увеличит количество браслетов в некоторое (не обязательно целое) число раз, не изменив количества значков, то в его коллекции будет 100 предметов. А если, наоборот, он увеличит в это же число раз первоначальное количество значков, оставив прежним количество браслетов, то у него будет 101 предмет. Сколько значков и сколько браслетов могло быть в коллекции Алика?

Прислать комментарий Решение

Задача 67506

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Френкин Б.Р.

Дан многочлен с целыми коэффициентами, имеющий хотя бы один целый корень. Наибольший общий делитель всех его целых корней равен $1$. Докажите, что если старший коэффициент многочлена равен $1$, то наибольший общий делитель остальных коэффициентов тоже равен $1$.

Прислать комментарий Решение

Задача 35699

Темы:	[	Группа перестановок	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Криптография	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Шифрпреобразование простой замены в алфавите A = {a₁, a₂, ..., a_n}, состоящем из n различных букв, заключается в замене каждой буквы шифруемого текста буквой того же алфавита, причём разные буквы заменяются разными. Ключом шифра простой замены называется таблица, в которой указано, какой буквой надо заменить каждую букву алфавита A. Если слово СРОЧНО зашифровать простой заменой с помощью ключа:

то получится слово ВЗДАБД. Зашифровав полученное слово с помощью того же ключа еще раз, получим слово ЮШЫЧЯЫ. Сколько всего различных слов можно получить, если указанный процесс шифрования продолжать неограниченно?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60507

Темы:	[	Алгоритм Евклида	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Разложение на множители	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Докажите, что при m ≠ n выполняются равенства:
а) (a^m – 1, aⁿ – 1) = a^{(m, n)} – 1 (a > 1);
б) (f_n, f_m) = 1, где f_k = 2^{2^k} + 1 – числа Ферма.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60520

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Докажите, что если (a₁, a₂, ..., a_n) = 1, то уравнение a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n = 1 разрешимо в целых числах.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 279]