Страница:
<< 36 37 38 39
40 41 42 >> [Всего задач: 279]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
Для некоторых натуральных чисел a, b, c и d выполняются равенства a/c = b/d = ab+1/cd+1. Докажите, что a = c и b = d.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Пусть a1, ..., a10 – различные натуральные числа, не меньшие 3, сумма которых равна 678. Может ли сумма остатков от деления некоторого натурального числа n на 20 чисел a1, a2, ..., a10, 2a1, 2a2,..., 2a10 равняться 2012?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Найдите все такие натуральные k, что при каждом нечётном n > 100 число 20n + 13n делится на k.
Докажите, что число 22n – 1 имеет по крайней мере n различных простых делителей.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Пусть a и b – натуральные взаимно простые числа. Рассмотрим точки плоскости с целыми координатами (x, y), лежащие в полосе 0 ≤ x ≤ b – 1. Каждой такой точке припишем целое число N(x, y) = ax + by.
а) Докажите, что для каждого натурального c существует ровно одна точка (x, y) (0 ≤ x ≤ b – 1), для которой N(x, y) = c.
б) Теорема Сильвестра. Докажите, что наибольшее c, для которого уравнение ax + by = c не имеет решений в целых неотрицательных числах, имеет вид
c = ab – a – b.
Страница:
<< 36 37 38 39
40 41 42 >> [Всего задач: 279]
Фильтр
