Каталог по темам

Задачи

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 141]

Задача 105088

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Итерации	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Последовательности (прочее)	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Шаповалов А.В., Доценко В.В.

Из имеющихся последовательностей {b_n} и {c_n} (возможно, {b_n} совпадает с {c_n}) разрешается получать последовательности {b_n + c_n},
{b_n – c_n}, {b_nc_n} и {^b_n/_{c_n}} (если все члены последовательности {c_n} отличны от 0). Кроме того, из любой имеющейся последовательности можно получить новую, вычеркнув несколько начальных членов. Сначала есть только последовательность {a_n}. Можно ли получить из неё описанными выше операциями последовательность {n}, то есть 1, 2, 3, 4, ..., если
а) a_n = n²;

б)

в)

Прислать комментарий

Решение

Задача 61146

[Ряд обратных квадратов]

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Комплексные числа помогают решить задачу	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

а) Докажите, что при нечётном n > 1 справедливо равенство: = – θ (0 < θ < 1).
б) Докажите тождество: = .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61251

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
Темы:	[	Тригонометрия (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Пусть числа u_k определены как и в предыдущей задаче. Докажите тождества:

а) 1 - u₁ + u₂ - u₃ +...+ u_2n = 2ⁿ(1 - cos x)(1 - cos 3x)...(1 - cos(2n - 1)x);

б) 1 - u₁² + u₂² - u₃² +...+ u_2n² = (- 1)ⁿ ${\dfrac{\sin(2n+2)x\cdot \sin(2n+4)x\cdot\ldots \cdot\sin4nx}{\sin 2nx\cdot\sin2(n-1)x\cdot\ldots\cdot\sin 2x}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 73575

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Березин В.Н.

Найдите суммы
а) 1·n + 2(n – 1) + 3(n – 2) + ... + n·1.
б) S_n,k = (1·2·...·k)·(n(n – 1)...(n – k + 1)) + (2·3·...·(k + 1))·((n – 1)(n – 2)...(n – k)) + ... + ((n – k + 1)(n – k + 2)...·n)·(k(k – 1)·...·1).

Прислать комментарий

Решение

Задача 109626

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Неравенства. Метод интервалов	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Мусин О.

Докажите, что если числа a₁, a₂, ..., a_m отличны от нуля и для любого целого k = 0, 1, ..., n (n < m – 1) выполняется равенство:
a₁ + a₂·2^k + a₃·3^k + ... + a_mm^k = 0, то в последовательности a₁, a₂, ..., a_m есть по крайней мере n + 1 пара соседних чисел, имеющих разные знаки.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 141]