Каталог по темам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 151]

Задача 78051

Темы:	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Числа [a], [2a], ..., [Na] различны между собой, и числа $\left[\vphantom{\frac{1}{a}}\right.$ ${\frac{1}{a}}$ $\left.\vphantom{\frac{1}{a}}\right]$ , $\left[\vphantom{\frac{2}{a}}\right.$ ${\frac{2}{a}}$ $\left.\vphantom{\frac{2}{a}}\right]$ , ..., $\left[\vphantom{\frac{M}{a}}\right.$ ${\frac{M}{a}}$ $\left.\vphantom{\frac{M}{a}}\right]$ тоже различны между собой. Найти все такие a.

Прислать комментарий Решение

Задача 97790

Темы:	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Показательные функции и логарифмы (прочее)	]
	[	Раскладки и разбиения	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Кисиль В.В.

Докажите для каждого натурального числа n > 1 равенство: [n^1/2] + [n^1/3] + ... + [n^1/n] = [log_₂n] + [log_₃n] + ... + [log_nn].

Прислать комментарий

Решение

Задача 98579

Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Сендеров В.А., Спивак А.В.

Существуют ли такие иррациональные числа a и b, что a > 1, b > 1, и [a^m] отлично от [bⁿ] при любых натуральных числах m и n?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109685

Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Во всех рациональных точках действительной прямой расставлены целые числа.
Докажите, что найдётся такой отрезок, что сумма чисел на его концах не превосходит удвоенного числа в его середине.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109780

Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Теория множеств (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Числовое множество M , содержащее 2003 различных положительных числа, таково, что для любых трех различных элементов a,b,c из M число a2+bc рационально. Докажите, что можно выбрать такое натуральное n , что для любого a из M число a рационально.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 151]