Подтемы:
-
Полнота действительных чисел
(3 задачи)
Целая и дробная части. Принцип Архимеда
(52 задачи)
Рациональные и иррациональные числа
(92 задачи)
Счетные и несчетные подмножества
(2 задачи)
Фильтр
Задачи
Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 144]
Кузнечик прыгает по числовой прямой, на которой отмечены
точки $-a$ и $b$. Известно, что $a$ и $b$ — положительные числа, а
их отношение иррационально. Если кузнечик находится в точке, которая
ближе к $-a$, то он прыгает вправо на расстояние, равное $a$. Если же
он находится в середине отрезка $[-a;b]$ или в точке, которая ближе к
$b$, то он прыгает влево на расстояние, равное $b$. Докажите, что
независимо от своего начального положения кузнечик в некоторый момент
окажется от точки 0 на расстоянии, меньшем $10^{-6}$.
Для произвольного числа $x$ рассмотрим сумму
$$Q(x)=\lfloor x\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{4}\right\rfloor+\ldots+\left\lfloor\frac{x}{10000}\right\rfloor.$$
Найдите разность $Q(2023) – Q(2022)$. (Здесь $\lfloor x\rfloor$ обозначает целую часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)
Дано натуральное число $n$. Для произвольного числа $x$ рассмотрим сумму
$$
Q(x)=\lfloor x\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{4}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{x}{10^{n}}\right\rfloor .
$$
Найдите разность $Q\left(10^{n}\right)-Q\left(10^{n}-1\right)$. (Здесь $\lfloor x\rfloor$ обозначает целую часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)
Докажите, что число
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
иррационально.
Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 144]
Задача 66578 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 67257 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67260 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 60863 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 60552 |
|
|
Докажите, что для действительного положительного α и натурального d всегда выполнено равенство [α/d] = [[α]/d].
|
|
|
Решение |
Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 144]
