Страница:
<< 18 19 20 21
22 23 24 >> [Всего задач: 136]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
Точка $M$ лежит внутри выпуклого четырёхугольника $ABCD$ на одинаковом расстоянии от прямых $AB$ и $CD$ и на одинаковом расстоянии от прямых $BC$ и $AD$.
Оказалось, что площадь четырёхугольника $ABCD$ равна $MA\cdot MC + MB\cdot MD$. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$
а) вписанный;
б) описанный.
Трапеция разделена на три трапеции прямыми, параллельными
основаниям. Известно, что в каждую из трёх получившихся трапеций
можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, вписанной в
среднюю трапецию, если радиусы окружностей, вписанных в две
оставшиеся, равны R и r.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ ($AB>AC$) пересекает описанную окружность в точке $P$. Перпендикуляр к $AC$ в точке $C$ пересекает биссектрису угла $A$ в точке $K$. Окружность с центром в точке $P$ и радиусом $PK$ пересекает меньшую дугу $PA$ описанной окружности в точке $D$. Докажите, что в четырехугольник $ABDC$ можно вписать окружность.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Четырёхугольник ABCD с попарно непараллельными сторонами описан около окружности с центром O. Докажите, что точка O совпадает с точкой пересечения средних линий четырёхугольника ABCD тогда и только тогда, когда OA·OC = OB·OD.
В остроугольном треугольнике проведены высоты
AA1
,
BB1
,
CC1
. На стороне
BC взята точка
K , для
которой
BB1
K = BAC , а на стороне
AB
– точка
M , для которой
BB1
M = ACB ;
L – точка пересечения высоты
BB1
и отрезка
A1
C1
. Докажите, что четырёхугольник
B1
KLM –
описанный.
Страница:
<< 18 19 20 21
22 23 24 >> [Всего задач: 136]
Фильтр
