При каких натуральных n для любых чисел α , β , γ , являющихся величинами углов остроугольного треугольника, справедливо неравенство

   Решение

Докажите, что для всех x(0;) при n>m , где n,m – натуральные, справедливо неравенство

2| sinⁿ x- cosⁿ x| 3| sin^m x- cos^m x|;

   Решение

Пусть AD – биссектриса треугольника ABC и прямая l касается окружностей, описанных около треугольников ADB и ADC , в точках M и N соответственно. Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков BD , DC и MN касается прямой l .

   Решение

Имеются три комиссии бюрократов. Известно, что для каждой пары бюрократов из разных комиссий среди членов оставшейся комиссии есть ровно 10 бюрократов, которые знакомы с обоими, и ровно 10 бюрократов, которые незнакомы с обоими. Найдите общее число бюрократов в комиссиях.

   Решение

На диагонали BD вписанного четырёхугольника ABCD выбрана такая точка K, что  ∠AKB = ∠ADC.  Пусть I и I' – центры вписанных окружностей треугольников ACD и ABK соответственно. Отрезки II' и BD пересекаются в точке X. Докажите, что точки A, X, I, D лежат на одной окружности.

   Решение

Найдите все такие простые числа p и q , что  p + q = (p – q)³.

   Решение

Пусть A' – точка касания вневписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Прямая a проходит через точку A' и параллельна биссектрисе внутреннего угла A. Аналогично строятся прямые b и c. Докажите, что прямые a, b и c пересекаются в одной точке.

   Решение

Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Вневписанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Пусть A' – точка касания вневписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Прямая a проходит через точку A' и параллельна биссектрисе внутреннего угла A. Аналогично строятся прямые b и c. Докажите, что прямые a, b и c пересекаются в одной точке.

Решение

  Пусть A₁, B₁ и C₁ – точки касания вписанной окружности со сторонами соответственно BC, AC и AB треугольника ABC. Через точку A₁ проведём прямую a₁, параллельную биссектрисе угла A. Поскольку треугольник B₁AC₁ равнобедренный, то биссектриса его угла при вершине A перпендикулярна основанию B₁C₁, значит, и прямая a₁ перпендикулярна B₁C₁. Поэтому высота треугольника A₁B₁C₁ лежит на прямой a₁.

  Пусть A₀, B₀ и C₀ – середины сторон BC, AC и AB соответственно. Поскольку при гомотетии с центром в точке пересечения медиан и коэффициентом –½ треугольник ABC переходит в треугольник A₀B₀C₀, то биссектрисы углов A и B₀A₀C₀ параллельны.
  Пусть S – точка пересечения биссектрис треугольника A₀B₀C₀. При симметрии относительно точки S прямая a₁ перейдёт в прямую a (прямые a₁, a и A₀S параллельны, а точки A₁ и A' прямых a₁ и a равноудалены от точки A₀ прямой A₀S – см. задачу 55404). Аналогично для прямых b₁ и b, c₁ и c.
  Таким образом, при этой симметрии каждая из высот треугольника A₁B₁C₁ перейдёт в соответствующую ей прямую a, b и c. Следовательно, эти прямые пересекутся в точке, симметричной ортоцентру треугольника A₁B₁C₁ относительно точки S.

Источники и прецеденты использования