Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 15 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Провести хорду данной окружности, параллельную данному диаметру, так, чтобы эта хорда и диаметр были основаниями трапеций с наибольшим периметром.

Вниз   Решение

Решите систему уравнений:
    xy(x + y) = 30
    x³ + y³ = 35.

ВверхВниз   Решение

Автор: Смирнова Л.

Окружности S1 и S2 пересекаются в точках M и N. Докажите, что если вершины A и C некоторого прямоугольника ABCD лежат на окружности S1, а вершины B и D – на окружности S2, то точка пересечения диагоналей прямоугольника лежит на прямой MN.

ВверхВниз   Решение

Боковая грань образует с плоскостью основания правильной шестиугольной пирамиды угол 60o . Найдите угол бокового ребра с плоскостью основания.

ВверхВниз   Решение

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна , а угол боковой грани с плоскостью основания равен 60o . Найдите объём пирамиды.

ВверхВниз   Решение

Автор: Рубанов И.С.

Какое наибольшее конечное число корней может иметь уравнение

|x-a1|+..+|x-a50|=|x-b1|+..+|x-b50|,

где a1 , a2 , a50 , b1 , b2 , b50 – различные числа?

ВверхВниз   Решение

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна , а угол боковой грани с плоскостью основания равен 60o . Найдите площадь сечения, проведённого через вершину пирамиды и меньшую диагональ основания.

ВверхВниз   Решение

Автор: Лебедев А.В.

На доске выписано  (n – 1)n  выражений:   x1 – x2,  x1 – x3,  ...,  x1 – xn,  x2 – x1,  x2 – x3,  ...,  x2 – xn,  ...,  xn – xn–1,   где  n ≥  3.  Лёша записал в тетрадь все эти выражения, их суммы по два различных, по три различных и т. д. вплоть до суммы всех выражений. При этом Лёша во всех выписываемых суммах приводил подобные слагаемые (например, вместо  (x1 – x2) + (x2 – x3)  Лёша запишет  x1 – x3,  а вместо  (x1 – x2) + (x2 – x1)  он запишет 0).
Сколько выражений Лёша записал в тетрадь ровно по одному разу?

ВверхВниз   Решение

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны a . Найдите радиус вписанной сферы.

ВверхВниз   Решение

Найдите угол между гранями правильного тетраэдра.

ВверхВниз   Решение

Тетраэдр называется равногранным, если все его грани – равные между собой треугольники. Докажите, что если достроить равногранный тетраэдр до параллелепипеда, проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей, то получится прямоугольный параллелепипед,

ВверхВниз   Решение

Даны точки A(- 2;0), B(1;6), C(5;4) и D(2; - 2). Докажите, что четырехугольник ABCD — прямоугольник.

ВверхВниз   Решение

В пространстве проведены три прямые, не лежащие в одной плоскости. но при этом никакие две не являются скрещивающимися. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку либо параллельны.

ВверхВниз   Решение

Пусть A , B , C и D – четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Через точку пересечения медиан треугольника ABC проведена плоскость, параллельная прямым AB и CD . В каком отношении эта плоскость делит медиану, проведённую к стороне CD треугольника ACD ?

ВверхВниз   Решение

Длины трёх сторон четырёхугольника, вписанного в окружность радиуса 2$ \sqrt{2}$, одинаковы и равны 2. Найдите четвёртую сторону.

Вверх   Решение

Задача 108528
Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
 Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Длины трёх сторон четырёхугольника, вписанного в окружность радиуса 2$ \sqrt{2}$, одинаковы и равны 2. Найдите четвёртую сторону.


Подсказка

Докажите, что данный четырёхугольник — равнобокая трапеция. Далее примените теорему синусов.


Решение

Пусть четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 2$ \sqrt{2}$, причём AB = BC = CD = 2. Обозначим $ \angle$CAD = $ \alpha$. Поскольку равные хорды стягивают равные дуги, а вписанные углы, опирающиеся на равные хорды, равны, то $ \angle$ACB = $ \angle$CAD. Поэтому BC$ \Vert$AD. Следовательно, ABCD — равнобокая трапеция.

Из теоремы синусов следует, что

sin$\displaystyle \alpha$ = sin$\displaystyle \angle$CAD = $\displaystyle {\frac{CD}{2R}}$ = $\displaystyle {\frac{2}{4\sqrt{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{2\sqrt{2}}}$.

Поскольку $ \angle$BAC = $ \angle$CAD = $ \alpha$, то $ \angle$BAD = 2$ \alpha$

Пусть P — проекция точки B на большее основание AD трапеции ABCD. Из прямоугольного треугольника ABP находим, что

AP = AB cos 2$\displaystyle \alpha$ = 2(1 - 2 sin2$\displaystyle \alpha$) = 2$\displaystyle \left(\vphantom{1 -2\cdot \frac{1}{8}}\right.$1 - 2 . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{8}}$$\displaystyle \left.\vphantom{1 -2\cdot \frac{1}{8}}\right)$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$.

По свойству равнобокой трапеции AP = $ {\frac{AD-BC}{2}}$. Отсюда находим, что

AD = 2AP + BC = 2 . $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ + 2 = 3 + 2 = 5.


Ответ

5.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4112
© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .