Версия для печати
Убрать все задачи

---

Решите в целых числах уравнение  (x² – y²)² = 1 + 16y.

   Решение

---

Определите угол A между сторонами 2 и 4, если медиана, проведённая из вершины A, равна .

   Решение

---

а) Наконец, у Снежной Королевы появились все квадраты с целыми сторонами, но каждый в единственном экземпляре. Королева пообещала Каю, что он станет мудрым, если сможет из каких-то имеющихся квадратов сложить прямоугольник. Сможет ли он это сделать?
б) Отдыхая, Кай стал заполнять стеклянный аквариум ледяными кубиками, которые лежали рядом. Кубики были самых разных размеров, но среди них не было двух одинаковых. Сможет ли Кай заполнить аквариум кубиками целиком?

   Решение

---

На сторонах треугольника ABC как на гипотенузах строятся во внешнюю сторону равнобедренные прямоугольные треугольники ABD , BCE и ACF . Докажите, что отрезки DE и BF равны и перпендикулярны.

   Решение

---

Две окружности касаются внешним образом. Их радиусы относятся как 3:1, а длина их общей внешней касательной равна 6 . Найдите периметр фигуры, образованной внешними касательными и внешними частями окружностей.

   Решение

---

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O . Точки K , L , M и N лежат на сторонах AB , BC , CD и AD соответственно, причём точка O лежит на отрезках KM и LN и делит их пополам. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

   Решение

---

Через точку на ребре треугольной пирамиды проведены две плоскости, параллельные двум граням пирамиды. Эти плоскости отсекают две треугольные пирамиды. Разрежьте оставшийся многогранник на две треугольные призмы.

   Решение

---

На бесконечной в обе стороны полосе из клеток, пронумерованных целыми числами, лежит несколько камней (возможно, по нескольку в одной клетке). Разрешается выполнять следующие действия:

1. Снять по одному камню с клеток n-1 и n и положить один камень в клетку n+1 ;
2. Снять два камня с клетки n и положить по одному камню в клетки n+1 , n-2 .

Докажите, что при любой последовательности действий мы достигнем ситуации, когда указанные действия больше выполнять нельзя, и эта конечная ситуация не зависит от последовательности действий (а зависит только от начальной раскладки камней по клеткам).

   Решение

---

В треугольнике ABC сторона AC наименьшая. На сторонах AB и CB взяты точки K и L соответственно, причём  KA = AC = CL.  Пусть M – точка пересечения AL и KC, а I – центр вписанной в треугольник ABC окружности. Докажите, что прямая MI перпендикулярна прямой AC.

   Решение

---

Малыш и Карлсон вместе съели банку варенья. При этом Карлсон съел на 40% меньше ложек варенья, чем Малыш, но зато в его ложке помещалось на 150% варенья больше, чем в ложке Малыша. Какую часть банки варенья съел Карлсон?

   Решение

---

Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения двух его высот, делённого на синус угла между сторонами, на которые эти высоты опущены, т.е.

где h_a и h_b — высоты, опущенные на стороны, равные a и b, а угол между этими сторонами.

   Решение

---

Лёша и Ира живут в доме, на каждом этаже которого 9 квартир (в доме один подъезд). Номер этажа Лёши равен номеру квартиры Иры, а сумма номеров их квартир равна 329. Каков номер квартиры Лёши?

   Решение

---

Найти такие числа A,B,C,a,b,c , чтобы имело место тождество

(4x-2)/(x³-x)=A/(x-a)+B/(x-b)+C/(x-c).

   Решение

---

На сторонах AB и BC остроугольного треугольника ABC построены как на основаниях равнобедренные треугольники AFB и BLC, причём один из них лежит внутри треугольника ABC, а другой построен во внешнюю сторону. При этом  ∠AFB = ∠BLC  и  ∠CAF = ∠ACL.  Докажите, что прямая FL отсекает от угла ABC равнобедренный треугольник.

   Решение

Темы:    [ Поворотная гомотетия ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB и BC остроугольного треугольника ABC построены как на основаниях равнобедренные треугольники AFB и BLC, причём один из них лежит внутри треугольника ABC, а другой построен во внешнюю сторону. При этом  ∠AFB = ∠BLC  и  ∠CAF = ∠ACL.  Докажите, что прямая FL отсекает от угла ABC равнобедренный треугольник.

Решение

  Обозначим  ∠A = α,  ∠C = γ.  Для определённости будем считать, что вершины A, B и C треугольника ABC ориентированы по часовой стрелке и  α ≥ γ.  Тогда треугольник AFB отложен во внутреннюю сторону, треугольник BLC – во внешнюю (см. рис.).

  Заметим, что равнобедренные треугольники AFB и BLC подобны. Обозначим через φ углы при их основаниях. Тогда по условию  α – φ = γ + φ,  откуда
φ = ½ (α – γ).  Треугольник BAC переходит в треугольник BFL при поворотной гомотетии с центром B, коэффициентом  ^BF/_BA = ^BL/_LC  и углом поворота φ против часовой стрелки. Значит, (ориентированная) прямая FL получается из (ориентированной) прямой AC поворотом на угол φ против часовой стрелки. Следовательно, угол между лучами FL и AB равен  ∠A – φ = α – ½ (α – γ) = ½ (α + γ),  а аналогичный угол между FL и BC равен  γ + φ = ½ (α + γ).
  Поскольку эти два угла равны, треугольник, отсекаемый прямой FL от угла BAC, – равнобедренный.

Источники и прецеденты использования