Версия для печати
Убрать все задачи

---

На стороне AC треугольника ABC взята точка A₁, а на продолжении стороны BC за точку C взята точка C₁, длина отрезка A₁C равна 85% длины стороны AC, а длина отрезка BC₁ равна 120% длины стороны BC. Сколько процентов площади треугольника ABC составляет площадь треугольника A₁BC₁?

   Решение

---

Около сферы описан пространственный четырёхугольник. Доказать, что точки касания лежат в одной плоскости.

   Решение

---

Найти натуральное наименьшее целое число n такое, что n делится на 19, а n+2 делится на 82.

   Решение

---

Найти такое трёхзначное число, удвоив которое, мы получим число, выражающее количество цифр, необходимое для написания всех последовательных целых чисел от единицы до этого искомого трёхзначного числа (включительно).

   Решение

---

В треугольнике ABC угол C – прямой. Из центра C радиусом AC описана дуга, пересекающая гипотенузу в точке D, а катет CB – в точке E.
Найдите угловые величины дуг AD и DE, если  ∠B = 40°.

   Решение

---

В футбольном чемпионате участвовали 16 команд. Каждая команда сыграла с каждой из остальных по одному разу, за победу давалось 3 очка, за ничью – 1 очко, за поражение – 0. Назовём команду успешной, если она набрала хотя бы половину от наибольшего возможного количества очков. Какое наибольшее количество успешных команд могло быть в турнире?

   Решение

---

У квадратного уравнения  x² + px + q = 0  коэффициенты p и q увеличили на единицу. Эту операцию повторили четыре раза. Приведите пример такого исходного уравнения, что у каждого из пяти полученных уравнений корни были бы целыми числами.

   Решение

---

Дано трёхзначное число, у которого первая и последняя цифра одинаковые.
Доказать, что число делится на 7 тогда и только тогда, когда делится на 7 сумма второй и третьей цифр.

   Решение

---

Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 10. Найдите радиус окружности, описанной около исходного треугольника.

   Решение

---

Докажите, что среди любых 11 чисел найдутся два, разность которых делится на десять.

   Решение

---

На доске записаны числа 1, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность – неотрицательное число.
Может ли на доске в результате нескольких таких операций остаться только число 15?

   Решение

---

Внутри правильного n-угольника со стороной a вписано n равных кругов так, что каждый круг касается двух смежных сторон многоугольника и двух соседних кругов. Найти площадь "звёздочки", ограниченной только дугами вписанных кругов.

   Решение

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Касающиеся окружности ] [ Площади криволинейных фигур ] [ Площадь круга, сектора и сегмента ] [ Площадь четырехугольника ] [ Вычисление площадей ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Внутри правильного n-угольника со стороной a вписано n равных кругов так, что каждый круг касается двух смежных сторон многоугольника и двух соседних кругов. Найти площадь "звёздочки", ограниченной только дугами вписанных кругов.

Решение

Соединим центры вписанных кругов между собой. Площадь "звездочки" найдём как разность между площадью полученного внутреннего n-угольника (его вершины – центры вписанных кругов) и площадью суммы n секторов вписанных кругов, высекаемых сторонами внутреннего многоугольника (см. рис.).

Сторона внутреннего многоугольника равна диаметру кругов. Вычислим их радиус r – радиус вписанной окружности четырёхугольника OKAL. По известной формуле     Площадь внутреннего многоугольника     Сумма углов всех секторов равна  (n – 2)π,  поэтому сумма S₂ их площадей равна сумме площадей  n – 2  полукругов радиуса r. Итак, искомая площадь равна   

Ответ

Источники и прецеденты использования