Выбрано 13 задач 
Убрать все задачи
Из точки A проведены к окружности две касательные (M и N – точки касания) и секущая, пересекающая эту окружность в точках B и C, а хорду MN – в точке P, AB : BC = 2 : 3. Найдите AP : PC.
Основание прямой призмы KLMNK1L1M1N1 – ромб KLMN с углом 60o при вершине K . Точки E и F – середины рёбер LL1 и LM призмы. Ребро SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD ( S – вершина) лежит на прямой LN , вершины D и B – на прямых MM1 и EF соответственно. Найдите отношение объёмов призмы и пирамиды, если SA=2AB .
Высота конуса с вершиной O равна 4, образующая конуса равна 5. Пирамида ABCD вписана в конус так, что точки A и C принадлежат окружности основания, точки B и D принадлежат боковой поверхности, причём точка B принадлежит образующей OA . Треугольники OAC и OBD – равносторонние, причём OB=3 . Найдите объём пирамиды, двугранный угол при ребре AB и радиус сферы, описанной около пирамиды ABCD .
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит ромб
ABCD с острым углом при вершине A . Высота ромба равна 4, точка
пересечения его диагоналей является ортогональной проекцией вершины
S на плоскость основания. Сфера радиуса 2 касается плоскостей всех
граней пирамиды. Найдите объём пирамиды, если расстояние от центра сферы
до прямой AC равно AB .
Известно, что точка, симметричная центру вписанной окружности треугольника ABC относительно стороны BC , лежит на описанной окружности этого треугольника. Найдите угол A .
Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды
ABCD равна 6, угол между боковым ребром и
плоскостью основания пирамиды равен arccos .
Точки B1 и C1 – середины рёбер BD и CD соответственно,
CA1 – высота в треугольнике ACD . Найдите:
1) угол между прямыми BC и A1C1 ;
2) площадь треугольника A1B1C1 ;
3) расстояние от точки C до плоскости A1B1C1 ;
4) радиус вписанного в пирамиду A1B1C1D шара.
Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды
ABCD равна 3, двугранный угол между боковой гранью
и плоскостью основания пирамиды равен arccos .
Точки A1 и C1 – середины рёбер AD и CD соответственно,
AB1 – высота в треугольнике ABD . Найдите:
1) угол между прямыми AC и A1B1 ;
2) площадь треугольника A1B1C1 ;
3) расстояние от точки A до плоскости A1B1C1 ;
4) радиус вписанного в пирамиду A1B1C1D шара.
Основание прямой призмы PQRP1Q1R1 – треугольник
PQR , в котором PQR = 90o , PQ:QR=1:3 . Точка
K – середина катета PQ и LM призмы. Ребро AB правильной
треугольной пирамиды ABCD ( A – вершина) лежит на
прямой PR , вершины C и D – на прямых P1K и QQ1
соответственно. Найдите отношение объёмов призмы и пирамиды,
если AB:CD=2:3 .
Точка M взята на стороне AC равностороннего треугольника ABC, а на продолжении стороны BC за точку C отмечена точка N, причём BM = MN.
Докажите, что AM = CN.
В клетках таблицы 2000×2000 записаны числа 1 и –1. Известно, что сумма всех чисел в таблице неотрицательна. Докажите, что найдутся 1000 строк и 1000 столбцов таблицы, для которых сумма чисел, записанных в клетках, находящихся на их пересечении, не меньше 1000.
Через середину ребра AC правильной треугольной пирамиды SABC (S – вершина) проведены плоскости α и β, каждая из которых образует угол 30° с плоскостью ABC. Найдите площади сечений пирамиды SABC плоскостями α и β, если эти сечения имеют общую сторону длины 1, лежащую в грани ABC, а плоскость α перпендикулярна ребру SA.
На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD взяты точки M и N соответственно. Диагональ BD пересекает стороны AM и AN треугольника AMN соответственно в точках E и F , разбивая его на две части. Докажите, что эти две части имеют одинаковые площади тогда и только тогда, когда точка K , определяемая условиями EK || AD , FK || AB , лежит на отрезке MN .
Точки E и F – середины рёбер CC1 и C1D1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 . Ребро KL правильной треугольной пирамиды KLMN ( K – вершина) лежит на прямой AC , а вершины N и M – на прямых DD1 и EF соответственно. Найдите отношение объёмов призмы и пирамиды, если AB:BC=4:3 , KL:MN=2:3 .
|
|
 |
Условие
Точки E и F – середины рёбер CC1 и C1D1
прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 .
Ребро KL правильной треугольной пирамиды KLMN ( K –
вершина) лежит на прямой AC , а вершины N и M – на
прямых DD1 и EF соответственно. Найдите отношение
объёмов призмы и пирамиды, если AB:BC=4:3 , KL:MN=2:3 .
Решение
Пусть P – основание перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую
AC . Прямая AC перпендикулярна двум пересекающимся
прямым AC и DD1 плоскости DD1P , поэтому прямая AC перпендикулярна
этой плоскости. Тогда, любая прямая, проходящая через точку P перпендикулярно
AC (или совпадающей с ней прямой KL ), лежит в плоскости DD1P .
Известно, что боковое ребро правильной треугольной пирамиды перпендикулярно,
скрещивающимся с ним боковым ребром. Кроме того, если прямая l и плоскость
α перпендикулярны одной и той же прямой, то прямая l либо лежит
в плоскости α , либо параллельна ей.
Скрещивающиеся прямые KL и MN перпендикулярны и плоскость DD1P
перпендикулярна прямой KL , поэтому прямая MN либо
лежит в плоскости DD1P , либо параллельна ей. Второй случай
исключается, т.к. по условию задачи точка N лежит на прямой DD1 , т.е.
является общей точкой прямой DD1 и плоскости DD1P . Значит,
прямая MN лежит в плоскости DD1P . В то же время, точка M лежит
в плоскости DD1C1C , т.к. она лежит на прямой EF этой плоскости.
Следовательно, точка M лежит на прямой DD1 пересечения плоскостей
DD1C1C и DD1P .
Тогда DP – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых DD1 и KL ,
а.т.к общий перпендикуляр противоположных рёбер правильной треугольной
пирамиды проходит через середину ребра основания, то D – середина MN
Положим AB=4a , BC=3a , KL=2b , MN=3b .
Пусть H – центр основания MNL правильной пирамиды KLMN .
Из прямоугольного треугольника KHL находим, что
Поэтому
Пусть прямые EF и CD пересекаются в точке G . Из равенства треугольников MFD1 , EFC1 и EGC следует, что CG=FC1=FD1 , а из подобия треугольников MFD1 и MGD –
Поэтому
Из прямоугольного треугольника ACD находим, что
Тогда
Следовательно,
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 8893 |
