В сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей. Найдите множество их точек касания.

   Решение

Докажите, что уравнение  x³ + y³ = 4(x²y + xy² + 1)  не имеет решений в целых числах.

   Решение

Окружность, построенная на стороне AC остроугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и BC в точках K и L. Касательные к этой окружности, проведённые в точках K и L, пересекаются в точке M. Докажите, что прямая BM перпендикулярна AC.

   Решение

Найдите x₁₀₀₀, если  x₁ = 4,  x₂ = 6,  и при любом натуральном  n ≥ 3  x_n – наименьшее составное число, большее   2x_n–1 – x_n–2.

   Решение

На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник, стороны которого образуют углы в 45° с линиями сетки, а вершины не лежат на линиях сетки.
Может ли каждую сторону прямоугольника пересекать нечётное число линий сетки?

   Решение

На прямой расположены 2k-1 белый и 2k-1 черный отрезок. Известно, что любой белый отрезок пересекается хотя бы с k черными, а любой черный – хотя бы с k белыми. Докажите, что найдутся черный отрезок, пересекающийся со всеми белыми, и белый отрезок, пересекающийся со всеми черными.

   Решение

Существуют ли 10 таких различных целых чисел, что все суммы, составленные из девяти из них – точные квадраты?

   Решение

На плоскости дано множество из n9 точек. Для любых 9 его точек можно выбрать две окружности так, что все эти точки окажутся на выбранных окружностях. Докажите, что все n точек лежат на двух окружностях.

   Решение

Вписанная окружность треугольника ABC касается его сторон ВС, АС и АВ в точках A', B' и C' соответственно. Точка K – проекция точки C' на прямую A'B'. Докажите, что KC' – биссектриса угла AKB.

   Решение

Две окружности S₁ и S₂ касаются внешним образом в точке F. Их общая касательная касается S₁ и S₂ в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная AB, касается окружности S₂ в точке C и пересекает окружность S₁ в точках D и E. Докажите, что общая хорда описанных окружностей треугольников ABC и BDE, проходит через точку F.

   Решение

На стороне AC треугольника ABC отметили произвольную точку D. Точки E и F симметричны точке D относительно биссектрис углов A и C соответственно. Докажите, что середина отрезка EF лежит на прямой A₀C₀, где A₀ и C₀ – точки касания вписанной окружности треугольника ABC со сторонами BC и AB соответственно.

   Решение

Темы:    [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

На стороне AC треугольника ABC отметили произвольную точку D. Точки E и F симметричны точке D относительно биссектрис углов A и C соответственно. Докажите, что середина отрезка EF лежит на прямой A₀C₀, где A₀ и C₀ – точки касания вписанной окружности треугольника ABC со сторонами BC и AB соответственно.

Решение 1

  Пусть B₀ – точка касания вписанной окружности со стороной AC. Точки A₀ и C₀ симметричны точке B₀ относительно биссектрис углов C и A соответственно. Можно считать, что точка D лежит на отрезке AB₀. Тогда точка E лежит на отрезке AC₀, а точка F – на продолжении отрезка CA₀, и
EC₀ = DB₀ = FA₀.
  Обозначим через M точку пересечения прямых EF и A₀C₀ (она лежит на отрезке EF). Отметим на прямой A₀C₀ точку G так, чтобы отрезки FG и AB были параллельны. Тогда треугольник GFA₀ подобен равнобедренному треугольнику C₀BA₀, значит,  FG = FA₀ = EC₀.  Из параллельности имеем
∠FEC₀ = ∠EFG  и  ∠EC₀G = ∠FGC₀.  Поэтому треугольники EC₀M и FGM равны по стороне и двум углам, и  EM = MF.

Решение 2

  Пусть I – центр вписанной окружности, M – точка пересечения прямых EF и A₀C₀. Прямоугольные треугольники IC₀E и IA₀F равны по двум катетам. Поэтому  ∠EIC₀ = ∠FIA₀,  значит, углы EIF и C₀IA₀ при вершинах равнобедренных треугольников EIF и C₀IA₀ равны. Следовательно, равны и углы IEF и IC₀A₀ при их основаниях, то есть точки I, C₀, E и M лежат на одной окружности. Поскольку угол IC₀E прямой, то и угол IME прямой, то есть IM – высота, а значит, и медиана равнобедренного треугольника EIF.

Решение 3

Пусть точка D движется с постоянной (равной 1) скоростью от A к C. Тогда точка E движется с той же скоростью от A к B, а F – с той же скоростью по прямой BC (в направлении   ).  При этом середина K отрезка EF движется с постоянной скоростью, равной полусумме единичных векторов, коллинеарных    и   ,   (см. решение 2 задачи 56471), то есть параллельно биссектрисе внешнего угла B. Эта биссектриса параллельна основанию равнобедренного треугольника A₀BC₀. В момент, когда D совпадёт с B₀, точки E и F совпадут с точками C₀ и A₀, а точка K₀ – с серединой отрезка A₀C₀. Значит, точка K движется по прямой A₀C₀.

Источники и прецеденты использования