Докажите, что любой остроугольный треугольник площади 1 можно поместить в прямоугольный треугольник площади .

   Решение

Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.

   Решение

Докажите справедливость формулы  

   Решение

На сторонах правильного треугольника ABC как на основаниях внутренним образом построены равнобедренные треугольники  A₁BC, AB₁C и ABC₁ с углами α, β и γ при основаниях, причём  α + β + γ = 60°.  Прямые BC₁ и B₁C пересекаются в точке A₂, AC₁ и A₁C – в точке B₂, AB₁ и A₁B – в точке C₂. Докажите, что углы треугольника A₂B₂C₂ равны 3α, 3β и 3γ.

   Решение

Окружность радиуса u_a вписана в угол A треугольника ABC, окружность радиуса u_b вписана в угол B; эти окружности касаются друг друга внешним образом. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника со сторонами     равен    где p – полупериметр треугольника ABC.

   Решение

Напечатать в порядке возрастания все простые несократимые дроби, заключенные между 0 и 1, знаменатели которых не превышают 7.

   Решение

В каждый из углов треугольника ABC вписано по окружности. Из одной вершины окружности, вписанные в два других угла, видны под равными углами. Из другой – тоже. Докажите, что тогда и из третьей вершины две окружности видны под равными углами.

   Решение

Докажите, что для любого натурального a найдётся такое натуральное n, что все числа  n + 1,  nⁿ + 1,  nⁿⁿ + 1,  ...  делятся на a.

   Решение

Докажите, что среди 51 целого числа найдутся два, квадраты которых дают одинаковые остатки при делении на 100.

   Решение

Докажите, что в любой выпуклый многоугольник площади 1 можно поместить треугольник, площадь которого не меньше: а) 1/4; б) 3/8.

   Решение

В вершинах куба расставлены цифры 1, 2, ..., 8. Докажите, что есть ребро, цифры на концах которого отличаются не менее чем на 3.

   Решение

На квадратном клетчатом листе бумаги размером 100 * 100 клеток нарисовано несколько прямоугольников. Каждый прямоугольник состоит из целых клеток, различные прямоугольники не накладываются друг на друга и не соприкасаются (см. пример на рис.). Задан массив размером 100 * 100, в котором элемент А [i, j] = 1, если клетка [i, j] принадлежит какому - либо прямоугольнику, и А [i, j] = 0 в противном случае. Написать программу, которая сосчитает и напечатает число прямоугольников.

   Решение

а) Может ли квадрат натурального числа оканчиваться на 2?

б) Можно ли, используя только цифры 2, 3, 7, 8 (возможно, по несколько раз), составить квадрат натурального числа?

   Решение

Карлсон написал дробь ¹⁰/₉₇. Малыш может:
  1) прибавлять любое натуральное число к числителю и знаменателю одновременно,
  2) умножать числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число. Сможет ли Малыш с помощью этих действий получить дробь,
  а) равную ½?  б) равную 1?

   Решение

Можно ли разбить какой-нибудь треугольник на 5 одинаковых треугольников?

   Решение

На доске 8×8 стоят 8 не бьющих друг друга ладей. Все клетки доски распределяются во владения этих ладей по следующему правилу. Клетка, на которой стоит ладья, отдаётся этой ладье. Клетку, которую бьют две ладьи, получает та из ладей, которая ближе к этой клетке; если же эти две ладьи равноудалены от клетки, то каждая из них получает по полклетки. Докажите, что площади владений всех ладей одинаковы.

   Решение

Даны два пересекающихся луча AС и BD. На этих лучах выбираются точки M и N (соответственно) так, что AM = BN. Найти положение точек M и N, при котором длина отрезка MN минимальна.

   Решение

В окружность вписан неправильный многоугольник. Если вершина A разбивает дугу, заключенную между двумя другими вершинами, на две неравные части, то такая вершина A называется неустойчивой. Каждую секунду какая-нибудь неустойчивая вершина перепрыгивает в середину своей дуги. В результате каждую секунду образуется новый многоугольник. Докажите, что сколько бы секунд ни прошло, многоугольник никогда не будет равным исходному.

   Решение

В секретной службе работают n агентов – 001, 002, ..., 007, ..., n. Первый агент следит за тем, кто следит за вторым, второй – за тем, кто следит за третьим, и т.д., n-й – за тем, кто следит за первым. Докажите, что n – нечётное число.

   Решение

На одной из сторон угла взяты две точки A и B. Найдите на другой стороне угла точку C такую, чтобы угол ACB был наибольшим. Постройте точку C с помощью циркуля и линейки.

   Решение

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Угол (экстремальные свойства) ] [ Построения (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На одной из сторон угла взяты две точки A и B. Найдите на другой стороне угла точку C такую, чтобы угол ACB был наибольшим. Постройте точку C с помощью циркуля и линейки.

Подсказка

Задача сводится к построению окружности, проходящей через две данные точки и касающейся данной прямой.

Решение

Пусть O — вершина угла. Через точки A и B проведём окружность, касающуюся второй стороны угла. Если C — точка касания, то по теореме о касательной и секущей OC² = OB ^. OA. Отрезок OC — среднее геометрическое отрезков OB и OA.

Докажем теперь, что угол ACB наибольший из всех углов с вершиной на второй стороне данного угла. Пусть M — точка на этой стороне угла, отличная от C. Если P и Q — точки пересечения с окружностью отрезков AM и BM, то угол AMB измеряется полуразностью дуг AB и PQ, а угол ACB — половиной дуги AB. Следовательно, он больше.

Источники и прецеденты использования