Информация о задаче

Выбрано 16 задач

Чему равна сумма цифр всех чисел от единицы до миллиарда?

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, H — точка пересечения высот. Докажите, что a² + b² + c² = 9R² - OH².

Решение

Автор: Френкин Б.Р.

Даны два многочлена P(x) и Q(x) положительной степени, причём P(P(x)) ≡ Q(Q(x)) и P(P(P(x))) ≡ Q(Q(Q(x))).
Обязательно ли тогда P(x) ≡ Q(x)?

Решение

Автор: Васильев Н.Б.

На плоскости дан квадрат 8×8, разбитый на клеточки 1×1. Его покрывают прямоугольными равнобедренными треугольниками (два треугольника закрывают одну клетку). Имеется 64 черных и 64 белых треугольника. Рассматриваются "правильные" покрытия – такие, что каждые два треугольника, имеющие общую сторону, разного цвета. Сколько существует правильных покрытий?

Решение

Докажите, что количество частей, на которые данные прямые разбивают плоскость, равно 1 + n + $\sum$ ( $\lambda$ (P) - 1), причем среди этих частей 2n неограниченных.

Решение

Части, на которые плоскость разрезана прямыми. раскрашены в красный и синий цвет так, что соседние части разного цвета (см. задачу 27.1). Пусть a -- количество красных частей, b — количество синих частей. Докажите, что

a $\displaystyle \le$ 2b - 2 - $\displaystyle \sum$ ( $\displaystyle \lambda$ (P) - 2),

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда красные области — треугольники и углы.

Решение

На плоскости даны 9 точек (см. рисунок). Перечеркните их все четырьмя прямыми отрезками, не отрывая карандаша от бумаги.

Решение

Докажите, что S = r_c²tg( $\alpha$ /2)tg( $\beta$ /2)ctg( $\gamma$ /2).

Решение

Числа [a], [2a], ..., [Na] различны между собой, и числа $\left[\vphantom{\frac{1}{a}}\right.$ ${\frac{1}{a}}$ $\left.\vphantom{\frac{1}{a}}\right]$ , $\left[\vphantom{\frac{2}{a}}\right.$ ${\frac{2}{a}}$ $\left.\vphantom{\frac{2}{a}}\right]$ , ..., $\left[\vphantom{\frac{M}{a}}\right.$ ${\frac{M}{a}}$ $\left.\vphantom{\frac{M}{a}}\right]$ тоже различны между собой. Найти все такие a.

Решение

Автор: Тутеску Л.

Решите систему уравнений:
   (x₃ + x₄ + x₅)⁵ = 3x₁,
   (x₄ + x₅ + x₁)⁵ = 3x₂,
   (x₅ + x₁ + x₂)⁵ = 3x₃,
   (x₁ + x₂ + x₃)⁵ = 3x₄,
   (x₂ + x₃ + x₄)⁵ = 3x₅.

Решение

Автор: Маркелов С.В.

Существует ли непостоянный многочлен $P(x)$, который можно представить в виде суммы $a(x) + b(x)$, где $a(x)$ и $b(x)$ – квадраты многочленов с действительными коэффициентами,
а) ровно одним способом?
б) ровно двумя способами?
Способы, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми.

Решение

Автор: Мурашкин М.В.

Существует ли прямоугольник, который можно разрезать на 100 прямоугольников, которые все ему подобны, но среди которых нет двух одинаковых?

Решение

Автор: Гальперин Г.А.

Решить в натуральных числах уравнение:

Решение

Разделить a¹²⁸ – b¹²⁸ на (a + b)(a² + b²)(a⁴ + b⁴)(a⁸ + b⁸)(a¹⁶ + b¹⁶)(a³² + b³²)(a⁶⁴ + b⁶⁴).

Решение

Клетки доски 10·10 раскрашены в красный, синий и белый цвета. Каждые две клетки с общей стороной раскрашены в разные цвета. Известно, что красных клеток 20.
а) Докажите, что всегда можно вырезать 30 прямоугольников, каждый из которых состоит из двух клеток – белой и синей.
б) Приведите пример раскраски, когда можно вырезать 40 таких прямоугольников.
в) Приведите пример раскраски, когда нельзя вырезать больше 30 таких прямоугольников.

Решение

Через вершину A квадрата ABCD проведены прямые l₁ и l₂, пересекающие его стороны. Из точек B и D опущены перпендикуляры BB₁, BB₂, DD₁ и DD₂ на эти прямые. Докажите, что отрезки B₁B₂ и D₁D₂ равны и перпендикулярны.

Решение

Условие

Решение

Источники и прецеденты использования