В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ точки $K$, $L$, $M$, $N$ – середины сторон $BC$, $CD$, $DA$, $AB$ соответственно. Отрезки $AK$, $BL$, $CM$, $DN$, пересекаясь, делят друг друга на три части. Оказалось, что отношение длины средней части к длине всего отрезка одно и то же для всех четырех отрезков. Верно ли, что $ABCD$ – параллелограмм?

   Решение

В равные углы X₁OY и YOX₂ вписаны окружности ω₁ и ω₂, касающиеся сторон OX₁ и OX₂ в точках A₁ и A₂ соответственно, а стороны OY – в точках B₁ и B₂. C₁ – вторая точка пересечения A₁B₂ и ω₁, а C₂ – вторая точка пересечения A₂B₁ и ω₂. Докажите, что C₁C₂ – общая касательная к окружностям.

   Решение

Сторона основания ABCD правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна a, боковое ребро равно b. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через прямую BD параллельно прямой AS.

   Решение

В пространстве (но не в одной плоскости) расположены шесть различных точек: A, B, C, D, E и F. Известно, что отрезки AB и DE, BC и EF, CD и FA попарно параллельны. Докажите, что эти же отрезки и попарно равны.

   Решение

Верны ли утверждения:
  а) Если многоугольник можно разбить ломаной на два равных многоугольника, то его можно разбить отрезком на два равных многоугольника.
  б) Если выпуклый многоугольник можно разбить ломаной на два равных многоугольника, то его можно разбить отрезком на два равных многоугольника.
  в) Если выпуклый многоугольник можно разбить ломаной на два многоугольника, которые можно перевести друг в друга движением, сохраняющим ориентацию (то есть поворотом или параллельным переносом), то его можно разбить отрезком на два многоугольника, которые можно перевести друг в друга таким же движением.

   Решение

Рассмотрим множество последовательностей длины n, состоящих из 0 и 1, в которых не бывает двух 1 стоящих рядом. Докажите, что количество таких последовательностей равно F_{n + 2}. Найдите взаимно-однозначное соответствие между такими последовательностями и маршрутами кузнечика из задачи 3.109.

   Решение

Имеется m белых и n чёрных шаров, причём  m > n.
Сколькими способами можно все шары разложить в ряд так, чтобы никакие два чёрных шара не лежали рядом?

   Решение

Докажите, что множество простых чисел вида  p = 4k + 3  бесконечно.

   Решение

Прямоугольник разрезан на прямоугольники, длина одной из сторон каждого из которых — целое число. Докажите, что длина одной из сторон исходного прямоугольника — целое число.

   Решение

Дан треугольник ABC, в котором сторона AB больше BC. Проведены биссектрисы AK и CM (K лежит на BC, M лежит на AB). Доказать, что отрезок AM больше MK, а отрезок MK больше KC.

   Решение

Докажите, что для любого натурального n сумма     лежит в пределах от ½ до ¾.

   Решение

Равнобедренный треугольник ABC с основанием BC повернули вокруг точки C так, что его вершина A оказалась в точке A₁ на прямой BC. При этом вершина B перешла в некоторую точку B₁, лежащую с точкой A по одну сторону от прямой BC. Полученный таким образом равнобедренный треугольник A₁B₁C повернули вокруг точки A₁ так, что вершина B₁ перешла в точку B₂ на прямой BC. При этом вершина C перешла в некоторую точку C₂, также лежащую с точкой A по одну сторону от прямой BC. Докажите, что  C₂B₂ || AC.

   Решение

Доказать, что
  а) из связного графа можно выкинуть несколько рёбер так, чтобы осталось дерево;
  б) в дереве с n вершинами ровно  n – 1  ребро;
  в) в дереве не меньше двух висячих вершин;
  г) в связном графа из n вершин не меньше  n – 1  ребра;
  д) если в связном графе n вершин и  n – 1  ребро, то он – дерево.

   Решение

а) Точки A₁ и B₁ делят стороны BC и AC треугольника ABC в отношениях  BA₁ : A₁C = 1 : p  и  AB₁ : B₁C = 1 : q.  В каком отношении отрезок AA₁ делится отрезком BB₁?

б) На сторонах BC и AC треугольника ABC взяты точки A₁ и B₁. Отрезки AA₁ и BB₁ пересекаются в точке D. Пусть a₁, b₁, c и d – расстояния от точек A₁, B₁, C и D до прямой AB. Докажите, что  ¹/_a1 + ¹/_b1 = ¹/_c + ¹/_d.

   Решение

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, I — центр вписанной окружности, I_a — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC. Докажите, что:
а)  d² = R² - 2Rr, где d = OI;
б)  d_a² = R² + 2Rr_a, где d_a = OI_a.

   Решение

Тема:    [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 5 Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, I — центр вписанной окружности, I_a — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC. Докажите, что:
а)  d² = R² - 2Rr, где d = OI;
б)  d_a² = R² + 2Rr_a, где d_a = OI_a.

Решение

а) Пусть M — точка пересечения прямой AI с описанной окружностью. Проведя через точку I диаметр, получим  AI ^. IM = (R + d )(R - d )= R² - d². Так как IM = CM (задача 2.4, а)), то  R² - d² = AI ^. CM. Остается заметить, что  AI = r/sin(A/2) и  CM = 2R sin(A/2).
б) Пусть M — точка пересечения прямой AI_a с описанной окружностью. Тогда  AI_a ^. I_aM = d_a² - R². Так как I_aM = CM (задача 2.4, а)), то  d_a² - R² = AI_a ^. CM. Остается заметить, что  AI_a = r_a/sin(A/2) и  CM = 2R sin(A/2).

Источники и прецеденты использования