В прямоугольном неравнобедренном треугольнике ABC точка M – середина гипотенузы AC, точки H_a, H_c – ортоцентры треугольников ABM, CBM соответственно, прямые AH_c, CH_a пересекаются в точке K. Докажите, что  ∠MBK = 90°.

   Решение

Постройте вписанно-описанный четырёхугольник по двум противоположным вершинам и центру вписанной окружности.

   Решение

С помощью циркуля и линейки на данной прямой MN постройте точку, из которой данный отрезок AB был бы виден под данным углом.

   Решение

На прямоугольном листе бумаги нарисован круг, внутри которого Миша мысленно выбирает n точек, а Коля пытается их разгадать. За одну попытку Коля указывает на листе (внутри или вне круга) одну точку, а Миша сообщает Коле расстояние от нее до ближайшей неразгаданной точки. Если оно оказывается нулевым, то после этого указанная точка считается разгаданной. Коля умеет отмечать на листе точки, откладывать расстояния и производить построения циркулем и линейкой. Может ли Коля наверняка разгадать все выбранные точки менее, чем за (n+1)² попыток?

   Решение

На стороне треугольника взяты четыре точки K, P, H и M, являющиеся соответственно серединой этой стороны, основанием биссектрисы противоположного угла треугольника, точкой касания с этой стороной вписанной в треугольник окружности и основанием соответствующей высоты. Найдите KH, если KP = a, KM = b.

   Решение

В ромб вписана окружность. На какие четыре части она делится точками касания сторон, если острый угол ромба равен 37^o?

   Решение

Докажите, что  a² + b² + c² - (a - b)² - (b - c)² - (c - a)² 4S.

   Решение

Три равные окружности касаются друг друга. Из произвольной точки окружности, касающейся внутренним образом этих окружностей, проведены касательные к ним. Доказать, что сумма длин двух касательных равна длине третьей.

   Решение

Какие-то две команды набрали в круговом волейбольном турнире одинаковое число очков.
Докажите, что найдутся такие команды А, В и С, что А выиграла у В, В выиграла у С, а С выиграла у А.

   Решение

Даны m = 2n + 1 точек — середины сторон m-угольника. Постройте его вершины.

   Решение

Докажите, что в трёхзначном числе, кратном 37, всегда можно переставить цифры так, что новое число также будет кратно 37.

   Решение

Докажите, что две различные окружности касаются тогда и только тогда, когда они касаются некоторой прямой в одной и той же точке.

   Решение

Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. На сторонах $AD$ и $CD$ взяты точки $E$ и $F$ так, что $AE=BC$ и $AB=CF$. Пусть $M$ – середина $EF$. Докажите, что угол $AMC$ прямой.

   Решение

Внутри равнобедренного треугольника $ABC$ отмечена точка $K$ так, что  $CK = AB = BC$  и  ∠ KAC = 30°.  Найдите угол $AKB$.

   Решение

В классе 20 учеников, причём каждый дружит не менее, чем с 14 другими.
Можно ли утверждать, что найдутся четыре ученика, которые все дружат между собой?

   Решение

Пусть a, b и c – длины сторон треугольника площади S; α₁, β₁ и γ₁ – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что
a² ctg α₁ + b² ctg β₁ + c² ctg γ₁ ≥ 4S,  причём равенство достигается, только когда рассматриваемые треугольники подобны.

   Решение

Темы:    [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ] [ Неравенство Коши ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Тангенсы и котангенсы углов треугольника ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Пусть a, b и c – длины сторон треугольника площади S; α₁, β₁ и γ₁ – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что
a² ctg α₁ + b² ctg β₁ + c² ctg γ₁ ≥ 4S,  причём равенство достигается, только когда рассматриваемые треугольники подобны.

Решение

  Пусть  x = ctg α₁  и  y = ctg β₁.  Тогда  x + y > 0  (так как  α₁ + β₁  < π  и     Поэтому     При фиксированном x это выражение минимально при таком y, что     то есть  
  Аналогичные рассуждения показывают, что если  a : b : c = sin α₁ : sin β₁ : sin γ₁,  то рассматриваемое выражение минимально. В этом случае треугольники подобны и  a² ctg α + b² ctg β + c² ctg γ = 4S  (см. задачу 57627, б)).

Источники и прецеденты использования