Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть O_a, O_b и O_c — центры описанных окружностей треугольников PBC, PCA и PAB. Докажите, что если точки O_a и O_b лежат на прямых PA и PB, то точка O_c лежит на прямой PC.

   Решение

---

Найдите объём правильного октаэдра (правильного восьмигранника), ребро которого равно a .

   Решение

---

а)  ctg(/2) + ctg(/2) + ctg(/2) 3.
б) Для остроугольного треугольника

   Решение

---

Ширина реки один километр. Это по определению означает, что от любой точки каждого берега можно доплыть до противоположного берега, проплыв не больше километра. Может ли катер проплыть по реке так, чтобы в любой момент расстояние до любого из берегов было бы не больше:
  а) 700 м?
  б) 800 м?
(Берега состоят из отрезков и дуг окружностей.)

   Решение

---

Какое наибольшее число острых углов может встретиться в выпуклом многоугольнике?

   Решение

---

В клетках квадрата 3×3 расставлены числа (рис. слева). Разрешается к числам, стоящим в двух соседних клетках, одновременно прибавлять одно и то же число, не обязательно положительное. Можно ли в какой-то момент получить такой квадрат с числами, как на рисунке справа? (Клетки считаются соседними, если имеют общую сторону.)

   Решение

---

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:

а) ;	д) ;
б) ;	е) ;
в) ;	ж) .
г) ;

   Решение

---

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты точки C₁, A₁ и B₁ соответственно, причём

Найдите площадь треугольника A₁B₁C₁, если площадь треугольника ABC равна 1.

   Решение

---

а) Пусть A, B, C и D — произвольные точки плоскости. Докажите, что (,) + (,) + (,) = 0.
б) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

   Решение

---

В записи   ¼  ¼  ¼  ¼   расставьте знаки действий и, если нужно, скобки так, чтобы значение получившегося выражения равнялось 2.

   Решение

---

Проведите через данную точку P, лежащую внутри угла AOB, прямую MN так, чтобы величина OM + ON была минимальной (точки M и N лежат на сторонах OA и OB).

   Решение

---

Расставьте в ряд числа от 1 до 100 так, чтобы любые два соседних отличались по крайней мере на 50.

   Решение

---

Каждая боковая грань пирамиды является прямоугольным треугольником, в котором прямой угол примыкает к основанию пирамиды. В пирамиде проведена высота. Может ли она лежать внутри пирамиды?

   Решение

Темы:    [ Пирамида (прочее) ] [ Признаки перпендикулярности ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Каждая боковая грань пирамиды является прямоугольным треугольником, в котором прямой угол примыкает к основанию пирамиды. В пирамиде проведена высота. Может ли она лежать внутри пирамиды?

Решение

  Пусть основанием пирамиды SA₁...A_n является многоугольник A₁...A_n (см. рисунки). Возможны два случая.
  1) Соседние углы в двух соседних боковых гранях – прямые. Пусть, например,  ∠SA₂A₁ = ∠SA₂A₃ = 90°  (рис. слева). Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости  SA₂ ⊥ A₁A₂A₃,  то есть SA₂ – высота пирамиды, и она принадлежит боковой поверхности пирамиды.

  2) В любых двух соседних боковых гранях прямые углы не имеют общей вершины. Пусть в прямоугольных треугольниках SA_nA₁, SA₁A₂, ..., SA_n–1A_n вершинами прямых углов являются точки A₁, A₂, ..., A_n соответственно (рис. справа). Воспользуемся тем, что гипотенуза больше катета. Тогда из треугольника SA₁A₂  SA₁ > SA₂,  из треугольника SA₂A₃  SA₂ > SA₃,  и так далее.
  Записав аналогичные неравенства для каждой боковой грани, получим  SA₁ > SA₂ > ... > SA_n > SA₁,  то есть  SA₁ > SA₁.  Противоречие.
  Таким образом, внутри данной пирамиды высота лежать не может.

Ответ

Не может.

Источники и прецеденты использования