Версия для печати
Убрать все задачи

---

Точки A' и B' — образы точек A и B при инверсии относительно некоторой окружности. Докажите, что точки A , B , A' и B' лежат на одной окружности.

   Решение

---

В таблицу записано девять чисел:

Известно, что шесть чисел – суммы строк и суммы столбцов таблицы – равны между собой: Докажите, что сумма произведений строк таблицы равна сумме произведений её столбцов:   a₁b₁c₁ + a₂b₂c₂ + a₃b₃c₃ = a₁a₂a₃ + b₁b₂b₃ + c₁c₂c₃.

   Решение

---

Докажите, что

   Решение

---

Найдите множество точек касания пар окружностей, касающихся сторон данного угла в данных точках A и B.

   Решение

---

Пусть  a b c. Докажите, что тогда  h_a + h_b + h_c 3b(a²+ac+c²)/(4pR).

   Решение

---

Правильный шестиугольник разрезан на N равновеликих параллелограммов. Доказать, что N делится на 3.

   Решение

---

Докажите, что если вершины выпуклого n-угольника лежат в узлах клетчатой бумаги, а внутри и на его сторонах других узлов нет, то  n ≤ 4.

   Решение

---

Докажите, что  h_a (a/2)ctg(/2).

   Решение

---

К окружности с диаметром АС проведена касательная ВС. Отрезок АВ пересекает окружность в точке D. Через точку D проведена еще одна касательная к окружности, пересекающая отрезок ВС в точке K. В каком отношении точка K разделила отрезок ВС?

   Решение

---

Постройте треугольник по биссектрисе, медиане и высоте, проведенным из одной вершины.

   Решение

---

Картинная галерея представляет собой невыпуклый n-угольник. Докажите, что для обзора всей галереи достаточно [n/3] сторожей.

   Решение

---

Точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC. Построим треугольник A₁B₁C₁, стороны которого параллельны отрезкам PA, PB, PC
(B₁C₁ || PA,  C₁A₁ || PB,  A₁B₁ || PC). Через точки A₁, B₁, C₁ проведены прямые, параллельные соответственно BC, CA и AB. Докажите, что эти прямые пересекаются в точке, лежащей на описанной окружности треугольника A₁B₁C₁.

   Решение

---

Разрежьте неравносторонний треугольник на четыре подобных треугольника, среди которых не все одинаковы.

   Решение

Темы:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Точка Лемуана ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Разрежьте неравносторонний треугольник на четыре подобных треугольника, среди которых не все одинаковы.

Решение

  Пусть  AB ≠ AC.  Проведём отрезок B'C' так, чтобы  ∠AC'B' = ∠C.  Ясно, что треугольники АВС и AB′C′ подобны, при этом отрезки B′C′ и ВС не параллельны. Отметим середину М отрезка B′C′ и достроим треугольник до параллелограмма AB′A′C′. Далее найдём точку A₁ пересечения прямых АМ и ВС и построим параллелограмм АВ₁А₁С₁. Отрезки А₁С₁, В₁А₁ и В₁С₁ осуществляют искомое разрезание.

Замечания

Легко видеть, что AА₁ – симедиана треугольника АВС. Поэтому можно было сразу построить точку А₁ как точку пересечения симедианы (прямой, симметричной медиане АK относительно биссектрисы угла А) со стороной ВС.

Источники и прецеденты использования