Выбрано 11 задач 
Убрать все задачи
Собралось n человек. Некоторые из них знакомы между собой, причём каждые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых, а каждые два знакомых не имеют общих знакомых. Доказать, что каждый из присутствующих знаком с одинаковым числом человек.
Докажите, что нетождественное проективное преобразование прямой
имеет не более двух неподвижных точек.
Докажите, что касающиеся окружности (окружность
и прямая) переходят при инверсии в касающиеся окружности
или в окружность и прямую, или в пару параллельных прямых.
Даны середины трех равных сторон выпуклого
четырехугольника. Постройте этот четырехугольник.
Назовём натуральное число интересным, если сумма его цифр – простое число.
Какое наибольшее количество интересных чисел может быть среди пяти подряд идущих натуральных чисел?
Дан треугольник ABC. Построены четыре окружности равного радиуса
так, что одна из них касается трех других, а каждая из этих трех
касается двух сторон треугольника. Найдите
, если радиусы вписанной
и описанной окружностей треугольника равны r и R соответственно.
Среди всех таких чисел n, что любой выпуклый
100-угольник можно представить в виде пересечения (т. е.
общей части) n треугольников, найдите наименьшее.
а) Из обычной шахматной доски 8 на 8 вырезали клетки с5 и
g2. Можно ли то, что осталось, замостить доминошками 1 на 2?
б) Тот же вопрос, если вырезали клетки с6 и g2.
По двум прямым, пересекающимся в точке P,
равномерно с одинаковой скоростью движутся две точки:
по одной прямой — точка A, по другой — точка B. Через
точку P они проходят не одновременно. Докажите, что
в любой момент времени описанная окружность треугольника
ABP проходит через некоторую фиксированную точку, отличную от P.
Найти остаток от деления на 7 числа 1010 + 10102 + 10103 + ... + 101010.
На стороне AB треугольника ABC отмечена точка K так, что AB = CK. Точки N и M – середины отрезков AK и BC соответственно. Отрезки NM и CK пересекаются в точке P. Докажите, что KN = KP.
|
|
 |
Условие
На стороне AB треугольника ABC отмечена точка K так, что AB = CK. Точки N и M – середины отрезков AK и BC соответственно. Отрезки NM и CK пересекаются в точке P. Докажите, что KN = KP.
Решение
Пусть L – середина отрезка BK. Тогда ML – средняя линия треугольника BCK, то есть ML || CK и ML = ½ CK = ½ AB = LN. Следовательно, треугольник MLN равнобедренный. Из параллельности прямых ML и PK следует, что треугольник PKN подобен треугольнику MLN, значит, и он равнобедренный.
Замечания
Можно также отложить на продолжении стороны AB за точку A отрезок AQ = BK и использовать равнобедренный треугольник QKC и то, что MN – средняя линия треугольника QCB.
