Выбрано 15 задач 
Убрать все задачи
Докажите, что если стороны a, b и противолежащие им углы α и β треугольника связаны соотношением a/cos α = b/cos β, то треугольник – равнобедренный.
Три купчихи – Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена Уваровна – сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили вдвоём 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна – 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна – 14. Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе?
Постройте четырехугольник по углам и диагоналям.
Число Y получается из натурального числа X некоторой перестановкой его цифр. Известно, что X + Y = 10200. Доказать, что X делится на 50.
а) Покажите, что среди любых шести целых чисел найдутся два, разность которых
кратна 5.
б) Останется ли это утверждение верным, если вместо разности
взять сумму?
Исследуйте последовательности на сходимость:
а)
xn + 1 = , x0 = 1;
б)
xn + 1 = sin xn,
x0 = a (0;
);
в)
xn + 1 = , a > 0, x0 = 0.
a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что
Докажите, что если в выражении (x² – x + 1)2014 раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то какой-нибудь коэффициент полученного многочлена будет отрицательным.
Докажите следующий вариант формулы Бине:
Докажите равенство:
(Сумма, стоящая в левой части, может быть интерпретирована, как сумма элементов треугольника Паскаля, стоящих в одной диагонали.)
Из точки A проведены два луча, пересекающие данную окружность: один — в точках B и C, другой — в точках D и E. Известно, что AB = 7, BC = 7, AD = 10. Найдите DE.
На каждой стороне треугольника ABC построено по квадрату во внешнюю сторону (пифагоровы штаны). Оказалось, что внешние вершины всех квадратов лежат на одной окружности. Доказать, что треугольник ABC — равнобедренный.
Игральную кость бросают шесть раз. Найдите математическое ожидание числа различных выпавших граней.
Дан правильный треугольник ABC . Через вершину B проводится произвольная прямая l , а через точки A и C проводятся прямые, перпендикулярные прямой l , пересекающие её в точках D и E . Затем, если точки D и E различны, строятся правильные треугольники DEP и DET , лежащие по разные стороны от прямой l . Найдите геометрическое место точек P и T .
Внутри остроугольного треугольника ABC постройте (с помощью циркуля и линейки) такую точку K, что ∠KBA = 2∠KAB и ∠KBC = 2∠KCB.
|
|
 |
Условие
Внутри остроугольного треугольника ABC постройте (с помощью циркуля и линейки) такую точку K, что ∠KBA = 2∠KAB и ∠KBC = 2∠KCB.
Решение
Пусть окружность ω с центром K и радиусом KB пересекает AB и BC в точках P и Q соответственно, а T – середина дуги ABC описанной окружности. Тогда
∠KPB = ∠KBP = 2∠KAP, следовательно, ∠KAP = ∠PKA и AP = PK = KB. Аналогично CQ = QK = KB. Поскольку
AP = CQ, AT = CT и ∠PAT = ∠QCT, треугольники TAP и TCQ равны, то есть ∠TPB = ∠TQB и точка T лежит на ω. Значит, центр K этой окружности лежит на серединном перпендикуляре к BT. Кроме того, из условия следует, что ∠AKC = 3∠B/2, то есть K лежит на соответствующей дуге (см. рис.).
∠PTQ = ∠PBQ = ∠B = ∠ATB. Следовательно, ∠ATP = ∠CTQ, и треугольники ATP и CTQ равны по стороне и двум углам. Значит, AP = CQ.
Если, например, AP > PK = KB, то ∠PKA > ∠PAK, ∠KPB > ∠KPB > 2∠BAK, ∠KBC > 2∠KCB и ∠AKC < 3∠B/2, что противоречит построению точки K. Аналогично при AP < PK получаем ∠AKC > 3∠B/2.
