Два правильных равных треугольника расположены в пространстве в параллельных плоскостях P₁ и P₂, причём отрезок, соединяющий их центры, перпендикулярен плоскостям. Найти геометрическое место точек, являющихся серединами отрезков, соединяющих точки одного треугольника с точками другого треугольника.

   Решение

Играют двое, ходят по очереди. Первый ставит на плоскости красную точку, второй в ответ ставит на свободные места 10 синих точек. Затем опять первый ставит на свободное место красную точку, второй ставит на свободные места 10 синих, и т.д. Первый считается выигравшим, если какие-то три красные точки образуют правильный треугольник. Может ли второй ему помешать?

   Решение

Было семь ящиков. В некоторые из них положили еще по семь ящиков (не вложенных друг в друга) и т. д. В итоге стало 10 непустых ящиков.
Сколько всего стало ящиков?

   Решение

Площадь треугольника ABC равна 2. Найдите площадь сечения пирамиды ABCD плоскостью, проходящей через середины рёбер AD , BD , CD .

   Решение

У Гриши есть 5000 рублей. В магазине продаются шоколадные зайцы по цене 45 рублей за штуку. Чтобы отнести зайцев домой, Грише придется купить ещё несколько сумок по 30 рублей за штуку. В одну сумку помещается не более 30 шоколадных зайцев. Гриша купил наибольшее возможное количество зайцев и достаточное количество сумок, чтобы донести в них всех зайцев. Сколько денег осталось у Гриши?

   Решение

а) Квадрат разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 3 и 4 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.

б) Прямоугольник разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 1 и 2 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.

   Решение

У равнобедренного треугольника стороны равны 3 и 7. Какая из сторон является основанием?

   Решение

Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M(-2;0;3) параллельно плоскости 2x - y - 3z + 5 = 0 .

   Решение

Точка E – середина той дуги AB описанной окружности треугольника ABC, на которой лежит точка C; C₁ – середина стороны AB. Из точки E опущен перпендикуляр EF на AC. Докажите, что:
  а) прямая C₁F делит пополам периметр треугольника ABC;
  б) три такие прямые, построенные для каждой стороны треугольника, пересекаются в одной точке.

   Решение

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки C₁, A₁ и B₁ так, что  ∠(CC₁, AB) = ∠(AA₁, BC) = ∠(BB₁, CA) = α.  Прямые AA₁ и BB₁, BB₁ и CC₁, CC₁ и AA₁ пересекаются в точках C', A', B' соответственно. Докажите, что:
  а) точка пересечения высот треугольника ABC совпадает с центром описанной окружности треугольника A'B'C';
  б) треугольники A'B'C' и ABC подобны, причём коэффициент подобия равен  2 cos α.

   Решение

Через точку A , лежащую на окружности с центром O, проведены диаметр AB и хорда AC. Докажите, что угол BAC вдвое меньше угла BOC.

   Решение

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены квадраты с центрами A₁, B₁ и C₁. Пусть a₁, b₁ и c₁ – длины сторон треугольника A₁B₁C₁, S и S₁ – площади треугольников ABC и A₁B₁C₁. Докажите, что:
  а)  
  б)   S₁ – S = ¹/₈ (a² + b² + c²).

   Решение

В ряд стоят 15 слонов, каждый из которых весит целое число килограммов. Если взять любого слона, кроме стоящего справа, и прибавить к его весу удвоенный вес его правого соседа, то получится 15 тонн (для каждого из 14 слонов). Найдите вес каждого из 15 слонов.

   Решение

Существует ли ограниченная функция f : такая, что f(1)>0 и f(x) удовлетворяет при всех x,y неравенству

f²(x+y) f²(x)+2f(xy)+f²(y)?

   Решение

Дан выпуклый шестиугольник P₁P₂P₃P₄P₅P₆, все стороны которого равны. Каждую его вершину отразили симметрично относительно прямой, проходящей через две соседние вершины. Полученные точки обозначили через Q₁, Q₂, Q₃, Q₄, Q₅ и Q₆ соответственно. Докажите, что треугольники Q₁Q₃Q₅ и Q₂Q₄Q₆ равны.

   Решение

Кусок сыра надо разрезать на части с соблюдением таких правил:
    вначале режем сыр на два куска, затем один из них режем на два куска, затем один из трёх кусков опять режем на два куска, и т.д.;
    после каждого разрезания части могут быть разными по весу, но отношение веса каждой части к весу любой другой должно быть строго больше заданного числа $R$.
  а) Докажите, что при  $R$ = 0,5  можно резать сыр так, что процесс никогда не остановится (после любого числа разрезаний можно будет отрезать ещё один кусок).
  б) Докажите, что если  $R$ > 0,5,  то процесс резки когда-нибудь остановится.
  в) На какое наибольшее число кусков можно разрезать сыр, если  $R$ = 0,6?

   Решение

Темы:    [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Кусок сыра надо разрезать на части с соблюдением таких правил:
    вначале режем сыр на два куска, затем один из них режем на два куска, затем один из трёх кусков опять режем на два куска, и т.д.;
    после каждого разрезания части могут быть разными по весу, но отношение веса каждой части к весу любой другой должно быть строго больше заданного числа $R$.
  а) Докажите, что при  $R$ = 0,5  можно резать сыр так, что процесс никогда не остановится (после любого числа разрезаний можно будет отрезать ещё один кусок).
  б) Докажите, что если  $R$ > 0,5,  то процесс резки когда-нибудь остановится.
  в) На какое наибольшее число кусков можно разрезать сыр, если  $R$ = 0,6?

Решение

  а) Исходный кусок разрежем, например, в отношении  $3 : 2$.
  Пусть у нас уже есть несколько кусков весов  $2d > 2c > ... > b > a$,  удовлетворяющих условию задачи, то есть  $a > d$  (возможно, что кусков всего два или три, тогда некоторые веса выписаны дважды). Покажем, что можно сделать ещё один шаг с сохранением условий. Выберем положительное  $h < min(a - d, d- c)$.  Разрежем больший кусок на куски веса  $d + h$  и  $d - h$.  Тогда  $d + h < a$  и  $d - h > c$,  то есть для кусков $2c > ... > b > a > d + h > d - h$  условия по-прежнему выполнены.

  б) Будем считать, что вес исходного куска равен 1. Пусть на некотором этапе у нас есть $k$ кусков, причём самый большой из них имеет вес $M$. Поскольку каждый из остальных кусков больше $\frac{M}{2}$, то сумма всех весов равна 1 и больше  $M(1 + \frac{k-1}{2}) = \frac{(k+1)M}{2}$,  то есть  $M < \frac{2}{k+1}$.
  Пусть процесс продолжается неограниченно долго. В силу доказанного неравенства каждый кусок рано или поздно будет разрезан. Поскольку  $2R > 1$,  найдётся такое натуральное $n$, что  $(2R)^n > 2$.  Зафиксируем веса кусков на момент, когда есть  $n+1$  кусок, и продолжим разрезания, пока все фиксированные веса не будут разрезаны. Пусть  $a \geqslant b$  – соседние фиксированные веса. Так как  $R > 0,5$,  то каждый раз мы режем самый большой кусок $M$, иначе обе части не будут больше $RM$. Поэтому, когда $a$ будет разрезан, $b$ ещё цел. Пусть $a$ разрезан на части веса $c$ и $d$. По условию  $c > Rb$  и  $d > Rb$,  а  $a > 2Rb$.  Написав аналогичные неравенства для всех фиксированных весов, получим что отношение наименьшего фиксированного веса $m$ к наибольшему фиксированному весу $M$ меньше  $2R^{-n} < \frac{1}{2} < R$. Противоречие.

  в) Пример.  54 → {32, 22} → {22, 18, 14} → {18, 14, 11, 11} → {14, 11, 11, 9, 9} → {11, 11, 9, 9, 7, 7}.
  Оценка. Допустим, получилось семь кусков. Зафиксируем момент, когда было четыре куска:  $d \geqslant c \geqslant b \geqslant a$.  Затем было последовательно разрезано три куска. Как показано в б), на каждом шаге разрезается наибольший кусок. Значит, сначала был разрезан кусок веса $d$ – пусть на куски   $x \geqslant y$.  Поскольку  $y > \frac{3}{5}x$,  то  $x < \frac{8}{5}d < \frac{5}{3}d < a$.
  Следовательно, на этом момент наибольшим куском стал $c$, и разрезан будет он. Аналогично после этого будет разрезан кусок $b$. По доказанному в пункте б),  $d > 2Rс = 1,2c$.  Аналогично  $с > 1,2b$,  $b > 1,2a$.  Отсюда  $a < \left(\frac{5}{6}\right)^{3}d < 0,6d$.  Противоречие.

Ответ

в) На 6 кусков.

Замечания

Баллы: 3 + 4 + 4.

Источники и прецеденты использования