Угол при вершине A треугольника ABC равен 120^o. Окружность касается стороны BC и продолжений сторон AB и AC. Докажите, что расстояние от вершины A до центра окружности равно периметру треугольника ABC.

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CK из вершины прямого угла C, а в треугольнике ACK – биссектриса CE. Докажите, что  CB = BE.

   Решение

В колбе находится колония из n бактерий. В какой-то момент внутрь колбы попадает вирус. В первую минуту вирус уничтожает одну бактерию, и сразу же после этого и вирус, и оставшиеся бактерии делятся пополам. Во вторую минуту новые два вируса уничтожают две бактерии, а затем и вирусы, и оставшиеся бактерии снова делятся пополам, и т.д. Наступит ли такой момент времени, когда не останется ни одной бактерии?

   Решение

Фазовая плоскость Opq разбивается параболой  p² – 4q = 0  и прямыми  p + q + 1 = 0,  – 2p + q + 4 = 0  на несколько областей. Для точек каждой области укажите, сколько корней имеет соответствующий им многочлен  x² + px + q = 0  на интервале  (– 2, 1).

   Решение

Докажите, что если в четырехугольнике два противоположные угла тупые, то диагональ, соединяющая вершины этих углов, меньше другой диагонали.

   Решение

На высоте BD треугольника ABC взята такая точка E, что  ∠AEC = 90°.  Точки O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников AEB и CEB; F, L – середины отрезков AC и O₁O₂. Докажите, что точки L, E, F лежат на одной прямой.

   Решение

Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде  3^u₁2^v₁ + 3^u₂2^v₂ + ... + 3^u_k2^v_k,  где  u₁ > u₂ > ... > u_k ≥ 0  и  0 ≤ v₁ < v₂ < ... < v_k  – целые числа.

   Решение

По кругу расставлено не менее четырёх неотрицательных чисел, в сумме равных единице.
Докажите, что сумма всех попарных произведений соседних чисел не больше ¼.

   Решение

Переложите пирамиду из 10 кубиков (см. рисунок) так, чтобы её форма осталась прежней, но каждый кубик соприкасался только с новыми кубиками.

   Решение

На стороне AC остроугольного треугольника ABC взята точка D так, что AD = 1, DC = 2, а BD является высотой треугольника ABC. Окружность радиуса 2, проходящая через точки A и D, касается в точке D окружности, описанной около треугольника BDC. Найдите площадь треугольника ABC.

   Решение

Смешарики живут на берегах пруда в форме равностороннего треугольника со стороной 600 м. Крош и Бараш живут на одном берегу в 300 м друг от друга. Летом Лосяшу до Кроша идти 900 м, Барашу до Нюши – тоже 900 м. Докажите, что зимой, когда пруд замёрзнет и можно будет ходить прямо по льду, Лосяшу до Кроша снова будет идти столько же метров, сколько Барашу до Нюши.

   Решение

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 12. Точка K лежит на продолжении ребра BC на расстоянии, равном 9, от вершины C . Точка L ребра AB удалена от A на расстояние, равное 5. Точка M делит отрезок A1C1 в отношении 1:3 , считая от A1 . Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точки K , L , M .

   Решение

В треугольнике ABC известно, что BAC = , ABC = , BC = a, AD — высота. На стороне AB взята точка P, причём = . Через точку P проведена окружность, касающаяся стороны BC в точке D. Найдите радиус этой окружности.

   Решение

Докажите, что  r_a² + r_b² + r_c² 27R²/4.

   Решение

Какой угол образуют часовая и минутная стрелки в 4 часа 12 минут?

   Решение

Тема:    [ Арифметика. Устный счет и т.п. ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

Прислать комментарий

Условие

Какой угол образуют часовая и минутная стрелки в 4 часа 12 минут?

Решение

Первый способ. В 12.00 каждая из стрелок направлена вертикально вверх. Найдем углы, которые каждая из стрелок составляет с этим положением в 4 часа 12 минут.

Часовая стрелка каждый час поворачивается на 30°, а за 12 минут повернется еще на 30° : 5 = 6°. Таким образом, она составит с вертикалью угол, равный 126° (см. рис.).

Минутная стрелка за 12 минут повернется на пятую часть от своего полного оборота, то есть на 360° : 5 = 72°. Следовательно, искомый угол равен 126° – 72° = 54°.

Второй способ. В 4.00 минутная стрелка направлена вверх, а часовая прошла от вертикального положения 20 минутных делений. Еще за 12 минут минутная стрелка повернется на 12 делений, а часовая – на одно минутное деление, так как 12 минут составляют пятую часть часа. Значит, между часовой и минутной стрелкой 21 – 12 = 9 минутных делений. Учитывая, что одно минутное деление составляет 360° : 60 = 6°, получим, что угол между стрелками равен 54°.

Ответ

54°.

Источники и прецеденты использования