Докажите, что для любого натурального числа n  

   Решение

Продолжения сторон KN и LM выпуклого четырёхугольника KLMN пересекаются в точке P, а продолжения сторон KL и MN – в точке Q. Отрезок PQ перпендикулярен биссектрисе угла KQN. Найдите сторону KL, если  KQ = 12,  NQ = 8,  а площадь четырёхугольника KLMN равна площади треугольника LQM.

   Решение

Геологи взяли в экспедицию 80 банок консервов, веса которых все известны и различны (имеется список). Через некоторое время надписи на консервах стали нечитаемыми, и только завхоз знает, где что. Он может это всем доказать (то есть обосновать, что в какой банке находится), не вскрывая консервов и пользуясь только сохранившимся списком и двухчашечными весами со стрелкой, показывающей разницу весов.
Докажите, что для этой цели ему
  а) достаточно четырёх взвешиваний и
  б) недостаточно трёх.

   Решение

На стороне BC треугольника ABC взята произвольная точка D. Через D и A проведены окружности ω₁ и ω₂ так, что прямая BA касается ω₁, прямая CA касается ω₂. BX – вторая касательная, проведённая из точки B к окружности ω₁, CY – вторая касательная, проведённая из точки C к окружности ω₂. Докажите, что описанная окружность треугольника XDY касается прямой BC.

   Решение

Каждая сторона выпуклого четырёхугольника разделена на 8 равных частей. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены друг с другом, и полученные клетки раскрашены в шахматном порядке. Докажите, что сумма площадей черных клеток равна сумме площадей белых клеток.

   Решение

На сторонах угла ABC отмечены точки М и K так, что углы BMC и BKA равны,  BM = BK,  AB = 15,  BK = 8,  CM = 9.
Найдите периметр треугольника СOK, где O – точка пересечения прямых AK и СМ.

   Решение

Точки M и N лежат на сторонах соответственно AB и AC треугольника ABC, причём AM = CN и AN = BM. Докажите, что площадь четырёхугольника BMNC по крайней мере в три раза больше площади треугольника AMN.

   Решение

Четырёхугольная пирамида SABCD вписана в сферу. Из вершин A, B, C, D опущены перпендикуляры AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ на прямые SC, SD, SA, SB соответственно. Оказалось, что точки S, A₁, B₁, C₁, D₁ различны и лежат на одной сфере. Докажите, что точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат в одной плоскости.

   Решение

Арбуз имеет форму шара диаметра 20 см. Вася сделал длинным ножом три взаимно перпендикулярных плоских надреза глубиной h (надрез – это сегмент круга, h – высота сегмента, плоскости надрезов попарно перпендикулярны). Обязательно ли при этом арбуз разделится хотя бы на два куска, если
  а)  h = 17 см;
  б)  h = 18 см?

   Решение

В трапецию ABCD  (BC || AD)  вписана окружность, касающаяся боковых сторон AB и CD в точках K и L соответственно, а оснований AD и BC в точках M и N.
  а) Пусть Q – точка пересечения отрезков BM и AN. Докажите, что  KQ || AD.
  б) Докажите, что  AK·KB = CL·LD.

   Решение

Докажите, что медианы тетраэдра (отрезки, соединяющие вершины с точками пересечения медиан противолежащих граней) пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1 , считая от вершины.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте биссектрису данного угла, вершина которого лежит вне чертежа.

   Решение

Точки P и Q расположены на стороне BC треугольника ABC, причём  BP : PC = 1 : 2  и  BQ : QC = 4 : 1.  Точка R расположена на продолжении стороны AC, а точка L является серединой той же стороны. При этом C принадлежит отрезку AR и  AC : CR = 2 : 1.  Найдите отношение площади четырёхугольника PQST к площади треугольника ABC, если S и T являются точками пересечения прямой BR с прямыми LQ и AP соответственно.

   Решение

Докажите тождество

   Решение

В треугольнике ABC биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади четырёхугольника ODCE, зная, что BC = a, AC = b, AB = c.

   Решение

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH_A$, $BH_B$, $CH_C$. Пусть $X$ – произвольная точка отрезка $CH_C$, а $P$ – точка пересечения окружностей с диаметрами $H_CX$ и $BC$, отличная от $H_C$. Прямые $CP$ и $AH_A$ пересекаются в точке $Q$, а прямые $XP$ и $AB$ – в точке $R$. Докажите, что точки $A$, $P$, $Q$, $R$, $H_B$ лежат на одной окружности.

   Решение

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH_A$, $BH_B$, $CH_C$. Пусть $X$ – произвольная точка отрезка $CH_C$, а $P$ – точка пересечения окружностей с диаметрами $H_CX$ и $BC$, отличная от $H_C$. Прямые $CP$ и $AH_A$ пересекаются в точке $Q$, а прямые $XP$ и $AB$ – в точке $R$. Докажите, что точки $A$, $P$, $Q$, $R$, $H_B$ лежат на одной окружности.

Решение

Так как четырехугольник $BCPH_C$ вписанный, то $\angle CPH_C=180^{\circ}-\angle B=180^{\circ}-\angle AHH_C$, где $H$ – ортоцентр треугольника $ABC$. Поэтому четырехугольник $HQPH_C$ вписанный, т.е. $\angle CQH=\angle HH_CP$. Но $\angle HH_CP=\angle H_CRP$, поскольку $H_CP$ – высота прямоугольного треугольника $H_CRX$. Таким образом, точки $A$, $R$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности. Кроме того, из вписанности четырехугольника $H_CPH_BC$ получаем, что $\angle PH_BA=\angle PH_CC=\angle PRB$, следовательно, $H_B$ лежит на той же окружности.

Источники и прецеденты использования