Выбрано 19 задач 
Убрать все задачи
Существует ли такой выпуклый 1976-гранник, который обладал бы следующим свойством: при произвольной расстановке стрелок на концах его рёбер сумма полученных векторов отлична от 0?
Доказать, что при любом целом положительном n сумма
больше ½.
Найдите радиус наибольшей окружности, касающейся изнутри двух пересекающихся окружностей с радиусами R и r, если расстояние между их центрами равно a
(a < R + r).
Докажите, что множество простых чисел вида p = 6k + 5 бесконечно.
Дан многочлен с целыми коэффициентами. В трёх целых точках он принимает
значение 2.
Доказать, что ни в какой целой точке он не принимает значение 3.
В круге с центром O проведена хорда AB. Вычислите площадь получившегося сегмента, если ∠AOB = α, а радиус круга равен r.
Существует ли такое натуральное число n, что сумма цифр числа n2 равна 100?
Доказать, что число 100...001, в котором 21974 + 21000 – 1 нулей, составное.
В треугольнике ABC проведены медианы AD и BE. Углы CAD и CBE равны 30o. Доказать, что треугольник ABC правильный.
К двум окружностям, касающимся извне, проведены общие внешние касательные и точки касания соединены между собой. Доказать, что в полученном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.
Решить в целых числах уравнение x + y = x² – xy + y².
Имеется 1000 монет, среди них 0, 1 или 2 фальшивые. Известно, что фальшивые монеты имеют одинаковую массу, отличную от массы нефальшивых монет. Можно ли за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить, есть ли фальшивые монеты и легче они или тяжелее нормальных? (Количество монет определять не надо.)
Доказать, что в десятичной записи чисел 2n + 1974n и 1974n содержится одинаковое количество цифр.
Дискриминанты трёх приведённых квадратных трёхчленов равны 1, 4 и 9.
Докажите, что можно выбрать по одному корню каждого из них так, чтобы их сумма равнялась сумме оставшихся корней.
Постройте треугольник, если известны отрезки, на которые вписанная окружность делит его сторону, и радиус вписанной окружности.
Дан треугольник ABC. Найдите на прямой AB точку M, для которой
сумма радиусов описанных окружностей треугольников ACM и BCM
была бы наименьшей.
В государстве имеют хождение монеты в один золотой и в один грош, причём один золотой составляет 1001 грошей.
Можно ли, имея 1986 золотых, купить без сдачи несколько предметов по 1987 грошей?
a ≡ 68 (mod 1967), a ≡ 69 (mod 1968). Найти остаток от деления a на 14.
Доказать, что разносторонний треугольник нельзя разрезать на два равных треугольника.
Условие
Доказать, что разносторонний треугольник нельзя разрезать на два равных
треугольника.
Решение
Предположим, что отрезок CD разрезает разносторонний треугольник ABC на два равных треугольника ACD и BCD. Эти треугольники имеют, в частности, равные площади, поэтому AD = BD. Кроме того, сторона CD общая. Следовательно, оставшиеся стороны равны, т.е. AC = BC. Приходим к противоречию.
