Выбрано 14 задач 
Убрать все задачи
Собралось n человек. Некоторые из них знакомы между собой, причём каждые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых, а каждые два знакомых не имеют общих знакомых. Доказать, что каждый из присутствующих знаком с одинаковым числом человек.
Докажите, что нетождественное проективное преобразование прямой
имеет не более двух неподвижных точек.
Докажите, что касающиеся окружности (окружность
и прямая) переходят при инверсии в касающиеся окружности
или в окружность и прямую, или в пару параллельных прямых.
Даны середины трех равных сторон выпуклого
четырехугольника. Постройте этот четырехугольник.
Назовём натуральное число интересным, если сумма его цифр – простое число.
Какое наибольшее количество интересных чисел может быть среди пяти подряд идущих натуральных чисел?
Дан треугольник ABC. Построены четыре окружности равного радиуса
так, что одна из них касается трех других, а каждая из этих трех
касается двух сторон треугольника. Найдите
, если радиусы вписанной
и описанной окружностей треугольника равны r и R соответственно.
Среди всех таких чисел n, что любой выпуклый
100-угольник можно представить в виде пересечения (т. е.
общей части) n треугольников, найдите наименьшее.
а) Из обычной шахматной доски 8 на 8 вырезали клетки с5 и
g2. Можно ли то, что осталось, замостить доминошками 1 на 2?
б) Тот же вопрос, если вырезали клетки с6 и g2.
По двум прямым, пересекающимся в точке P,
равномерно с одинаковой скоростью движутся две точки:
по одной прямой — точка A, по другой — точка B. Через
точку P они проходят не одновременно. Докажите, что
в любой момент времени описанная окружность треугольника
ABP проходит через некоторую фиксированную точку, отличную от P.
Найти остаток от деления на 7 числа 1010 + 10102 + 10103 + ... + 101010.
На стороне AB треугольника ABC отмечена точка K так, что AB = CK. Точки N и M – середины отрезков AK и BC соответственно. Отрезки NM и CK пересекаются в точке P. Докажите, что KN = KP.
В нижнем левом углу шахматной доски 8 на 8 стоит фишка. Двое по очереди передвигают её на одну клетку вверх, вправо или вправо-вверх по диагонали. Выигрывает тот, кто поставит фишку в правый верхний угол. Кто победит при правильной игре?
Доказать, что никакая степень числа 2 не оканчивается четырьмя одинаковыми цифрами.
Улитка должна проползти вдоль линий клетчатой бумаги путь длины 2n, начав и кончив свой путь в данном узле.
Доказать, что число различных её маршрутов равно
|
|
 |
Условие
Улитка должна проползти вдоль линий клетчатой бумаги путь длины 2n, начав и кончив свой путь в данном узле.
Доказать, что число различных её маршрутов равно
Решение
При любом таком маршруте число ходов вверх равно числу ходов вниз, а число
ходов вправо равно числу ходов влево. Выпишем на один лист бумаги номера ходов, ведущих вправо или вверх, а на другой — номера ходов, ведущих влево или вверх. На каждом листе будет выписано ровно n номеров.
По каждой паре таких наборов маршрут однозначно восстанавливается (например, если номер входит в оба набора, то ему соответствует ход вверх). Этот маршрут замкнутый, поскольку число ходов вправо равно числу ходов влево (оба они дополняют число ходов вверх до n), а число ходов вверх равно числу ходов вниз (вычитая из общего числа 2n ходов число ходов вправо, влево и вверх, мы, с одной стороны, получим число ходов вниз, а с другой стороны, – число ходов вверх). Итак, число маршрутов равно числу пар наборов из n номеров,
то есть
