Сумма положительных чисел a, b, c и d равна 3. Докажите неравенство   ¹/_a³ + ¹/_b³ + ¹/_c³ + ¹/_d³ ≤ ¹/_a³b³c³d³.

   Решение

Решите уравнение  

   Решение

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Середины сторон AB и CD обозначим соответственно через K и M, точку пересечения AM и DK — через O, точку пересечения BM и CK — через P. Доказать, что площадь четырёхугольника MOKP равна сумме площадей треугольников BPC и AOD.

   Решение

Боковое ребро правильной треугольной призмы равно высоте основания, а площадь сечения, проведённого через это боковое ребро и высоту основания, равна Q . Найдите объём призмы.

   Решение

Выразите через a и b действительный корень уравнения  x³ – a³ – b³ – 3abx = 0.
Найдите представления для двух комплексных корней этого уравнения.

   Решение

а) Докажите, что для любого параллелограмма существует эллипс, касающийся сторон параллелограмма в их серединах.
б) Докажите, что для любого треугольника существует эллипс, касающийся сторон треугольника в их серединах.

   Решение

Точка A лежит внутри правильного десятиугольника X₁...X₁₀, а точка B — вне его. Пусть  a = + ... +   и  b = + ... + .
Может ли оказаться, что  |a| > |b| ?

   Решение

Пусть  n > 2.  Докажите, что между n и n! есть по крайней мере одно простое число.

   Решение

В четырёхугольнике ABCD сторона AB равна диагонали AC и перпендикулярна стороне AD, а диагональ AC перпендикулярна стороне CD. На стороне AD взята такая точка K , что  AC = AK.  Биссектриса угла ADC пересекает BK в точке M. Найдите угол ACM.

   Решение

A – вершина правильного звёздчатого пятиугольника. Ломаная AA'BB'CC'DD'EE' является его внешним контуром. Прямые AB и DE продолжены до пересечения в точке F. Докажите, что многоугольник ABB'CC'DED' равновелик четырёхугольнику AD'EF.

   Решение

Число сторон многоугольника A₁...A_n нечётно. Докажите, что:
  а) если этот многоугольник вписанный и все его углы равны, то он правильный;
  б) если этот многоугольник описанный и все его стороны равны, то он правильный.

   Решение

На плоскости даны изображение (параллельная проекция) плоского четырёхугольника ABCD и точки M , не лежащей в его плоскости. Постройте изображение прямой, по которой пересекаются плоскости ABM и CDM .

   Решение

Боковая поверхность конуса вдвое больше площади его основания. Найдите угол в развертке боковой поверхности конуса.

   Решение

Темы:    [ Поверхность круглых тел ] [ Тетраэдр (прочее) ] [ Свойства разверток ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Боковая поверхность конуса вдвое больше площади его основания. Найдите угол в развертке боковой поверхности конуса.

Решение

Пусть r - радиус основания данного конуса, l - образующая, S₁ - площадь основания конуса, S₂ - площадь боковой поверхности. Тогда S₂ - площадь сектора окружности радиуса l, являющегося разверткой боковой поверхности конуса. По условию задачи S₂ = 2 ^. S₁, или rl = 2r². Отсюда находим, что r = l /2. Тогда площадь указанного сектора равна l²/2, т.е. половине площади круга радиуса l. Значит, сектор является полукругом. Следовательно, угол в развертке боковой поверхности конуса равен 180^o.

Ответ

180°.

Источники и прецеденты использования