ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Филимонов В.П.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



Задача 65821

Темы:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
[ Отношения площадей (прочее) ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

На сторонах прямоугольного треугольника ABC построены во внешнюю сторону квадраты с центрами D, E, F.
Докажите, что отношение  SDEF : SABC   а) больше 1;   б) не меньше 2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111348

Темы:   [ Углы между биссектрисами ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Через центр O вписанной в треугольник ABC окружности проведена прямая, перпендикулярная прямой AO и пересекающая прямую BC в точке M. Из точки O на прямую AM опущен перпендикуляр OD. Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115514

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Две пары подобных треугольников ]
[ Средняя линия трапеции ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD взята такая точка P, что  ∠PBA = ∠PCD = 90°.  Точка M – середина стороны AD, причём  BM = CM.
Докажите, что  ∠PAB = ∠PDC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111816

Темы:   [ Угол между касательной и хордой ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Дан треугольник ABC, в котором  AB > BC.  Касательная к его описанной окружности в точке B пересекает прямую AC в точке P. Точка D симметрична точке B относительно точки P, а точка E симметрична точке C относительно прямой BP. Докажите, что четырёхугольник ABED – вписанный.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111847

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Дан остроугольный треугольник ABC. Точки M и N– середины сторон AB и BC соответственно, точка H– основание высоты, опущенной из вершины B. Описанные окружности треугольников AHN и CHM пересекаются в точке P   (P ≠ H ).
Докажите, что прямая PH проходит через середину отрезка MN.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .