Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]

Задача 57174 (#07.044)

Тема:

[

Теорема Карно

]

Сложность: 5+
Классы: 9

На прямой l взяты точки A₁, B₁ и C₁ и из вершин треугольника ABC на эту прямую опущены перпендикуляры AA₂, BB₂ и CC₂. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек A₁, B₁ и C₁ на прямые BC, CA и AB, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда $\overline{A_1B_1}$ : $\overline{B_1C_1}$ = $\overline{A_2B_2}$ : $\overline{B_2C_2}$ (отношения отрезков ориентированные).

Прислать комментарий Решение

Задача 57175 (#07.045)

Тема:

[

Теорема Карно

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Треугольник ABC правильный, P — произвольная точка. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из центров вписанных окружностей треугольников PAB, PBC и PCA на прямые AB, BC и CA, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 57176 (#07.046)

Тема:

[

Теорема Карно

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Докажите, что если перпендикуляры, восставленные из оснований биссектрис треугольника, пересекаются в одной точке, то треугольник равнобедренный.

Прислать комментарий Решение

Задача 57177 (#07.047)

Тема:

[

Окружность Ферма-Аполлония

]

Сложность: 4+
Классы: 9

Докажите, что множество точек X, обладающих тем свойством, что k₁A₁X² + ... + k_nA_nX² = c:
а) при k₁ + ... + k_n $\ne$ 0 является окружностью или пустым множеством;
б) при k₁ + ... + k_n = 0 является прямой, плоскостью или пустым множеством.

Прислать комментарий Решение

Задача 57178 (#07.048)

Тема:

[

Окружность Ферма-Аполлония

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прямая l пересекает две окружности в четырех точках. Докажите, что четырехугольник, образованный касательными в этих точках, описанный, причем центр его описанной окружности лежит на прямой, соединяющей центры данных окружностей.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]