ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 109699  (#99.5.9.1)

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Ребусы ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

В числе A цифры идут в возрастающем порядке (слева направо). Чему равна сумма цифр числа 9· A ?
Прислать комментарий     Решение


Задача 109700  (#99.5.9.2)

Темы:   [ Связность и разложение на связные компоненты ]
[ Степень вершины ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10

В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены беспосадочными рейсами одной из N авиакомпаний, причём из каждого города есть ровно по одному рейсу каждой из авиакомпаний. Известно, что из каждого города можно долететь до любого другого (возможно, с пересадками). Из-за финансового кризиса был закрыт  N – 1  рейс, но ни в одной из авиакомпаний не закрыли более одного рейса. Докажите, что по-прежнему из каждого города можно долететь до любого другого.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108154  (#99.5.9.3)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Биссектриса делит дугу пополам ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Сонкин М.

Треугольник ABC вписан в окружность S. Пусть A0 – середина дуги BC окружности S, не содержащей точку A, C0 – середина дуги окружности S, не содержащей точку C. Окружность S1 с центром A0 касается BC, окружность S2 с центром C0 касается AB. Докажите, что центр I вписанной в треугольник ABC окружности лежит на одной из общих внешних касательных к окружностям S1 и S2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109702  (#99.5.9.4)

Темы:   [ Формула включения-исключения ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Процессы и операции ]
[ Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности ]
[ Отношение порядка ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Числа от 1 до 1000000 покрашены в два цвета – чёрный и белый. За ход разрешается выбрать любое число от 1 до 1000000 и перекрасить его и все числа, не взаимно простые с ним, в противоположный цвет. Вначале все числа были чёрными. Можно ли за несколько ходов добиться того, что все числа станут белыми?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109703  (#99.5.9.5)

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Шахматная раскраска ]
[ Классическая комбинаторика (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Автор: Антонов М.

Правильный треугольник разбит на правильные треугольники со стороной 1 линиями, параллельными его сторонам и делящими каждую сторону на n частей (на рисунке  n = 5).

Какое наибольшее число отрезков длины 1 с концами в вершинах этих треугольников можно отметить так, чтобы не нашлось треугольника, все стороны которого состоят из отмеченных отрезков?

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .