ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      



Задача 65002  (#1)

Темы:   [ Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны ]
[ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Существует ли треугольник, в котором одна сторона равна какой-то из его высот, другая – какой-то из биссектрис, а третья – какой-то из медиан?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65003  (#2)

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Средняя линия трапеции ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В прямоугольном треугольнике ABC  (∠C = 90°)  биссектрисы AA1 и BB1 пересекаются в точке I. Пусть O – центр описанной окружности треугольника CA1B1. Докажите, что  OIAB.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65004  (#3)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три описанные окружности пересекаются в одной точке ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Нилов Ф.

Точки A', B', C' лежат на сторонах BC, CA, AB треугольника ABC. Точка X такова, что  ∠AXB = ∠A'C'B' + ∠ACB  и  ∠BXC = ∠B'A'C' + ∠BAC.
Докажите, что четырёхугольник XA'BC' – вписанный.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65005  (#4)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке N. Описанные окружности треугольников ANB и CND, повторно пересекают стороны BC и AD в точках A1, B1, C1, D1. Докажите, что четырёхугольник A1B1C1D1 вписан в окружность с центром N.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65006  (#5)

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

На высоте BD треугольника ABC взята такая точка E, что  ∠AEC = 90°.  Точки O1 и O2 – центры описанных окружностей треугольников AEB и CEB; F, L – середины отрезков AC и O1O2. Докажите, что точки L, E, F лежат на одной прямой.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы, Московского института открытого образования и ФЦП "Кадры" .